前回は空間図形の色々な立体について学んでいきました。

今回は空間図形の体積や表面積などについて見ていきたいと思います。
ここは苦手にするお子さんが多い分野なのでしっかりと押さえていきましょう！

1.角柱の表面積

角柱とは三角柱や四角柱（立方体や直方体）などを言います。
表面積という新しい言葉が出来てきましたが、「表面の全部の体積のこと」を表面積と呼びます。

表面積＝底面積+側面積で求めることができますが、「表面の全部の体積のこと」と覚えておくと便利です。
早速問題を解きながら学んでいきましょう。

例題1-1

以下の三角柱の表面積を求めよ

解答1-1

表面積とは「表面の全部の体積のこと」でした。その為展開図を見てみて、全ての面積を足し合わせれば答えになります。

上記を見てみると、三角形の底面積が2枚、長方形の側面積が3枚の計5つの面積の足し算をすればOKです。
底面積：3×4÷2×2＝12ｃｍ²
側面積：5×8+4×8+3×8＝96ｃｍ²
よって、表面積は108ｃｍ²が答えとなります。

例題1-2

以下の直方体の表面積を求めよ

解答1-2

この場合も同じ様に展開図にして考えてみましょう。

上記を見てみると、底面積が2枚、側面積が4枚の計6つの面積の足し算をすればOKです。
底面積：4×3×2＝24ｃｍ²
側面積：4×5×2+3×5×2＝70ｃｍ²
よって、表面積は94ｃｍ²が答えとなります。

2.円柱の表面積

この章では円柱の表面積の求め方を学んでいきます。
前章で習った通り、表面積とは「表面の全部の体積のこと」と捉えていきましょう。

円柱の表面積は側面積の長方形の横の長さが底面積の円周と同じ大きさになることがポイントです。
早速見ていきましょう。

例題2

以下の円柱の表面積を求めよ

解答2

表面積を求めるときには展開図です。やってみましょう！

赤線の「？」の部分が重要になってきます。ここは底面積の円周の長さになりましたね。

底面積：5×5×π×2＝50πｃｍ²
側面積：9×（5×2×π）＝90πｃｍ²
よって、表面積は140πｃｍ²が答えになります。

3.角錐の表面積

さて、ここからは「柱」ではなく、「錐」を見ていきたいと思います。
基本の考え方は同じです。表面積は「表面の全部の体積のこと」でしたね。

例題3

以下の四角錐の表面積を求めよ

解答3

展開図は上記のようになります。底面積が1枚と側面積が4枚の計5つの面積の足し算をすればOKです。
底面積：8×8＝64ｃｍ²
側面積：8×12÷2×4＝192ｃｍ²
よって、表面積は256ｃｍ²が答えとなります。

4.円錐の表面積

次に円錐の表面積を見ていきましょう。くどいようですが、表面積は「表面の全部の体積のこと」です。
円錐の場合のポイントは側面積のおうぎ形の弧の長さが底面積の円周と同じになることです。

例題4

以下の円錐の表面積を求めよ

解答4

展開図はこのようになります。底面積の円と側面積のおうぎ形の2つに分かれます。
本来であれば中心角の角度を求めておうぎ形の面積を求めていきますが、今回は省略し、半径×弧の長さ÷2で求めていきます。詳しくはこちらの記事で解説しています。

底面積：6×6×π＝36πｃｍ²
側面積：9×（6×2×π【底面積の円周の長さ】）÷2＝54πｃｍ²
よって、表面積は90πｃｍ²となります。

5.柱の体積

ここからは体積を学んでいきたいと思います。体積は表面積と違って簡単です！
公式があるのでしっかり覚えていきましょう！単位が「ｃｍ²」ではなく「ｃｍ³」なので注意してください。

「柱の体積＝底面積×高さ」で求めることができます。
早速例題を解いていきましょう！

例題5

以下の立体の体積を求めよ

解答5

それぞれ公式に当てはめていけば簡単に求めることができます。
①：5×12×÷2×10＝300ｃｍ³
②：5×5×π×8＝200πｃｍ³
単位に注意して下さいね。

6.錐の体積

錐の体積は柱の3分の1になるので、柱の体積の公式に÷3をすれば求めることができます。
公式は「錐の体積＝底面積×高さ÷3」です。早速解いていきましょう。

例題6

以下の立体の体積を求めよ

解答6

今回も公式に当てはめていけば大丈夫です。
①：3×3×4÷3＝12ｃｍ³
②：3×3×π×4÷3＝12πｃｍ³
単位を「ｃｍ²」としないように気を付けてください。

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7.球の表面積と体積

「球」とは「円」の立体バージョンです。実生活でも触れるので形のなじみはあると思います。こういうものです。

球の体積と表面積は公式が決まっているので覚えておけばOKです！
球の体積＝4×π×半径³÷3
球の表面積＝4×π×半径²
です。

僕は体積の公式を（身の上心配アール参上【みのうえ（3分の）し（4）んぱい（π）あーる（半径）さんじょう（³）】）と覚えるようにしています。
表面積は「³」の部分と「3分の」が相殺して「²」になると覚えています。【高校になると微分という単元で説明できるようになります】

例題7

半径6ｃｍの球の体積と表面積を求めよ

解答7

公式に当てはめればOKなので
体積：4×π×6³÷3＝288πｃｍ³
表面積：4×π×6²＝144πｃｍ²
が答えとなります。