【数学】文字式の計算

今回から中学校2年生で学ぶ分野の解説をしていきたいと思います。

2年生は連立方程式や一次関数、図形の証明問題などが出てきます。
この分野では1年生で学んだところから+αで次数や文字数を増やしたときにどうなるかを学んでいきましょう！
1年生の時の復習はコチラの記事で解説しています。

1.式と次数

ここでは初めて出てくる単語の「次数」とは何かを説明していきたいと思います。

まず、1年生の復習からしていきましょう。
「5x²-3x+4」という式があった時、「5x²」、「-3x」、「+4」をそれぞれ項と呼び、文字式の前に付いている「（+）5」や「-3」のことを係数と呼びましたね。

今回は「5x²」に注目してみます。
この「5x²」をかけ算を省略しない形にすると、「5×ｘ×ｘ」となります。この時、ｘが2回掛けられているので次数は2だということになります。
つまり、次数とは文字が掛けられている数だと分かると思います。
例えば、「9xy」なら次数は2、「7abc」なら次数は3となります。

もう一つ新しい言葉を学びましょう。「単項式」と「多項式」という言葉です。
この二つは読んで字のごとくで、「5x²-3x+4」のように複数の項でなる式を多項式、「5x²」のように単数でなる式を単項式と言います。

この時、次数はどうなるでしょうか？
答えは、単項式ならばそのまま、多項式ならば一番大きい次数がその式全体の次数となります。
例えば、「5x²-3x+4」は2次式、「-3x+4y²-4xy²」は3次式となります。

例題1

以下の式が何次式かを答えよ。

（1）x²-3x+4
（2）-10xy
（3）-p²q³+4p²

解答1

（1）多項式なので一番大きい次数がその式全体の次数となります。
「x²」は2次、「-3x」は1次、「+4」は0次なので答えは2次式になります。

（2）単項式なのでそのままの次数がその式全体の次数となります。
「-10xy」は2次なので、答えは2次式になります。

（3）多項式なので一番大きい次数がその式全体の次数となります。
「-p²q³」は5次、「4p²」は2次なので答えは5次式になります。

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2.文字式の加減

1年生で学んだように、文字式の足し算と引き算は、同じ項の時のみ計算が可能で、係数を計算していきます。

例題2

以下の式を計算せよ。
（1）-x+4y+2y-x
（2）3x²+x-5x²+2x
（3）-a+2b-5+8b+9
（4）3a+2b+(a-4b)
（5）3a+2b-(a-4b)
（6）7x-5y-(-x+3y-2)

（7）2(2x-y-4)-3(x+3y-1)
（8）(12x+6y)÷3

解答2

同類項をまとめて、係数を計算すればよいので
（1）-2ｘ+6ｙ
（2）-2ｘ²+3ｘ
（3）-a+10ｂ+14

+（）の時はそのまま外し、－（）の時はかっこの中の符号を変えて外せばよいので
（4）3a+2b+a-4b
=4a-2b
（5）3a+2b-a+4b
=2a+6b
（6）7x-5y+x-3y+2
=8x-8y+2

()の前に数字があるときは分配法則を使って解けばよいので
（7）4x-2y-8-3x-9y+3
=x-11y-5
（8）4x+2y

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3.文字式の乗法と除法

文字式の乗法・除法に関しては係数部分の計算と文字部分の計算を分けて行います。
同じ文字の時かけ算ならば次数が上がり、割り算ならば次数が下がることに注意しましょう！

例題3

以下の計算をせよ。
（1）(-3a)×(-b)
（2）5ab×2b×(-3a²)
（3）8ab÷4b
（4）8x²÷(-2x)

解答3

（1）係数部分と文字部分に分けて計算していきます。
係数部分：-3×(-1)=3
文字部分：a×b=ab
よって、答えは3abとなります。

（2）係数部分と文字部分に分けて計算していきます。
係数部分：5×2×(-3)=-30
文字部分：ab×b×a²=a³b²
よって、答えは30a³b²となります。

（3）係数部分と文字部分に分けて計算していきます。
係数部分：8÷4=2
文字部分：ab÷b=a
よって、答えは2aとなります。

（4）係数部分と文字部分に分けて計算していきます。
係数部分：8÷(-2)=-4
文字部分：x²÷x=x
よって、答えは4xとなります。