【奈良県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
奈良県の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
奈良県の数学は4つの大問で構成され、そのうち1つが小問集合となっています。その他の大問は、関数・図形が出てくることが多く空間図形はあまりテーマになることはありません。
難易度は標準といったところです。数学が得意なお子さんであれば満点を狙えると思います。
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大問1
問題文
次の各問い答えよ。
（1）次の①～④の計算せよ。
① ー2－5
② ー3²×9
③ 8a²b÷(ー2ab)²×6ab
④ (x＋7)(xー4)ー(xー4)²
（2）連立方程式を解け。
{3x+4y=1
{2x-y=-3
（3）2次方程式x²ー3x＋1＝0
（4）√15の小数部分をaとするとき、a²＋6aの値を求めよ。
（5）表は、A中学校とB中学校の3年生全生徒を対象に、1日当たりの睡眠時間を調査し、その結果を度数分布表にまとめたものである。この表から読み取ることができることがらとして適切なものを、次のア～エからすべて選び、その記号を書け。
ア 5時間以上6時間未満の階級の相対度数は、A中学校の方が大きい。
イ 睡眠時間が8時間以上の生徒の人数は、A中学校の方が多い。
ウ 睡眠時間の最頻値（モード）は、B中学校の方が大きい。
エ B中学校の半数以上の生徒が、7時間未満の睡眠時間である。
（6）図1は、立方体の展開図である。この展開図を組み立ててできる立体において、頂点Pと頂点A,B,C,Dをそれぞれ結ぶ線分のうち、最も長いものはどれか。次のア～エから1つ選び、その記号を書け。
ア 線分PA
イ 線分PB
ウ 線分PC
エ 線分PD
（7）図2のように、3点A,B,Cがある。次の条件①,②を満たす点Pを、定規とコンパスを使って解答欄の枠内に作図せよ。なお、作図に使った線は消さずに残しておくこと。
【条件】
① 点Pは、線分BC上にある。
② ∠BAP＝30°である。
（8）連続する4つの整数のうち、1つの数を除いた3つの整数の和は2021である。①、②の問いに答えよ。
① 連続する4つの整数のうち、最も小さい数をaとするとき、最も大きい数をaを用いて表せ。
② 除いた数を求めよ。
解答・解説
（1）① 【正答 -7】
両方とも負の数なので絶対値の足し算になる
（1）② 【正答 -81】
-3²×9＝-9×9＝-81
（1）③ 【正答 12a】
=(48a³b²)÷4a²b²
（1）④ 【正答 11x-44】
=x²＋3xー28ー(x²ー8x＋16)＝11xー44
（2） 【正答 x=-1, y=1】
3x+4y=1
8x-4y=-12
よりx=-1
-3+4y=1となるので
y=1
（3） 【正答 x=(3±√5)/2】
（4） 【正答 6】
3<√15<4よりa=√15-3
a²+6a=a(a+6)=(√15-3)(√15+3)=15-9=6
（5） 【正答 ア、エ】
ア：Aの相対度数・・・5/30 Bの相対度数・・・5/73（相対度数は小数で表すが、比較のためにここでは分数としている） より正しい
イ：A・・・5人 B・・・5人 より正しくない
ウ：A・・・7.5時間 B・・・7.5時間 より正しくない
エ：Bの7時間未満は37人。37/73より半分を超えるので正しい
（6） 【正答 ウ】
頭の中で展開図を組み立てて実際に長さの比較をするのが適当か。
PA<PB=PC<PD
（7） 【正答】
（8）① 【正答 a+3】
連続する4つの整数とは具体的には1,2,3,4や103,104,105,106とか。
一番小さい数字をaとすれば一番大きい数はa+3であらわされる。
（8）② 【正答 673】
(iv)a+3を除くときを考えると、
(ii)a+1を除くとき
3a=2016
a=672となる。
除いた数はa+1なので673が本問の答え
大問2
問題文
花子さんと太郎さんは、ある博物館で入館料の割引キャンペーンが行われていることを知り、それぞれ何人かのグループで訪れる計画を立てている。次の【 】内は、博物館の入館料と、花子さんと太郎さんのそれぞれの計画をまとめたものである。各問いに答えよ。
（1）次の□内は、グループの入館料の合計金額に関する花子さんと太郎さんの会話である。この会話を読んで、①～③の問いに答えよ。
花子：私のグループの場合、入館料の合計金額は【（あ）】円だね。
太郎：私のグループの場合、月末割引の日に訪れる予定だから、特別割引の日に訪れるよりも入館料の合計金額は【（い）】円高くなるよ。
花子：私のグループが月末割引の日に訪れるとしても、入館料の合計金額は、特別割引の日に訪れるより高くなるよ。
太郎：特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなることはあるのかな。
花子：大人ｘ人、子どもｙ人のグループで訪れるとして、入館料の合計金額を式に表して考えてみようよ。
① 【（あ）】、【（い）】に当てはまる数を書け。
② 2人は、特別割引について考えている中で、ｘとｙの大小関係により、グループの入館料の合計金額を表す式が異なることに気づいた。ｘ＜ｙであるとき、特別割引の日に訪れる場合のグループの入館料の合計金額をｘ、ｙを用いて表せ。
③ 2人は、グループの入館料の合計金額について、次の【 】内のようにまとめた。【（う）】に当てはまる数を書け。また（X）、（Ｙ）に当てはまる語句の組み合わせを、後のア～エから1つ選び、その記号を書け。
大人の人数より子どもの人数の方が多い場合、2種類の割引でグループの入館料の合計金額が等しくなるのは、子どもの人数が大人の人数の【（う）】倍のときである。このときより、大人の人数が1人（Ｘ）か、子どもの人数が1人（Ｙ）と、特別割引の日より、月末割引の日に訪れる方が、グループの入館料の合計金額が安くなる。
ア Ｘ 増える Ｙ 増える
イ Ｘ 増える Ｙ 減る
ウ Ｘ 減る Ｙ 増える
エ Ｘ 減る Ｙ 減る
（2）特別割引の日に入館する子どもには、スクラッチカードが配られ、記念品として「クリアファイル」か「ポストカード」のいずれかが必ずプレゼントされる。次の【 】内は、スクラッチカードとその説明である。花子さんのグループの子ども3人のうち、少なくとも1人は「クリアファイル」がプレゼントされる確率を求めよ。
解答・解説
（1）① 【正答 あ:1200 い:200】
あ：大人が二人なので子供二人が無料になる。
500×2+200×1=1200
い：特別割引では500×3+200×2=1900
月末割引では450×3+150×5=2100
差額は200円である
（1）② 【正答 300x+200y】
x<yのとき子供料金はy-x人分であるから
500x+200(y-x)=300x+200y
（1）③ 【正答 3、ウ】
特別割引では300x+200y
月末割引では450x+150y
これらが等しくなるので300x+200y=450x+150y
これを解いて3x=y
x:y=1:3のときに等式が成立。すなわち子供の人数が大人の3倍の時。
また、大人が１人増えると、特別割引では大人が＋500円、子供が－200円、トータルで＋300円。
月末割引では＋450円。
すなわち大人の人数が増えるほど特別割引の方が安くなる。
子供が１人増えると、特別割引では＋200円、月末料金では＋150円。
子供の人数が増えるほど、月末料金の方が安くなる。
（2） 【正答 19/27】
少なくとも一人はAを選ぶという事象は全体から三人ともBを選ぶ事象を除けばよいので
1-2/3×2/3×2/3=19/27
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大問3
問題文
図のように、関数y＝ax²(a>0)のグラフ上に、2点A,Bがあり、そのｘ座標はそれぞれー1、2である。原点をＯとして、各問いに答えよ。
（1）aの値が大きくなると、次の①、②はどのように変化するか。正しいものをそれぞれア～ウから1つずつ選び、その記号を書け。
①グラフの開き方
ア 大きくなる イ 小さくなる ウ 変わらない
②線分ABの長さ
ア 長くなる イ 短くなる ウ 変わらない
（2）xの変域が-1≦x≦2のとき、yの変域が0≦y≦2となる。このときのaの値を求めよ。
（3）a＝2のとき、①,②の問いに答えよ。
①直線ABの式を求めよ。
②線分OA上に点Cをとり、直線BCとy軸との交点をDとする。また、直線ABとy軸との交点をEとする。△BEDの面積と△ODCの面積が等しくなるとき、点Cのx座標を求めよ。
解答・解説
（1）① 【正答 イ】
aの値が大きくなるほどグラフの開きは小さくなる
（1）② 【正答 ア】
グラフの開きが小さくなるほどｘ軸方向は短くなるが、ｙ軸方向は長くなる。
傾きが大きくなるほど長くなる。
（2） 【正答 1/2】
x=2で最大値y=2 (2,2)を通る。
y=ax²に代入してa=1/2
（3）① 【正答 y=2x+4】
y=2x²に代入。A（-1,2）→（2,8）
右に３、上に６だから傾きは２。
Ａから右に１、上に２移動して切片は４。
y=2x+4
（3）② 【正答 -2/3】
Ｃはｙ＝４ｘ＋４とｙ＝－２ｘの交点だから、
４ｘ＋４＝－２ｘ
ｘ＝－２/３
大問4
問題文
図のように、線分ABを直径とする円Oの周上に点Cがあり、AB＝5㎝、AC＝3㎝である。線分AB上に点Dをとり、直線CDと円Oとの交点のうち点C以外の点をEとする。ただし、点は、点A,Bと一致しないものとする。各問いに答えよ。
（1）△ACD∽△EBDを証明せよ。
（2）∠BAC＝a°とする。BC＝CEのとき、∠OCDの大きさをaを用いて表せ。
（3）∠AOE＝60°のとき、線分DEの長さは線分ADの長さの何倍か。
（4）AC＝CDのとき、△OEBの面積を求めよ。
解答・解説
（1） 【正答 円周角は等しいので∠ACD=∠EBD
対頂角は等しいので∠ADC=∠EDB
二組の角がそれぞれひとしいので△ACD∽△EBD】
（2） 【正答 90-a】
∠ＣＢＥを∠OＢＥ（=×）と∠OＢC（=●）の二つに分けて考える。
半径よりＯＢ＝ＯＣ、△ＯＢＣは二等辺で∠ＯＣＢ＝●
弧ＡＥに対する円周角より、∠ＡＣＥ＝×
直径に対する円周角より、∠ＡＣＢ＝90°
したがって、∠ＯＣＤ＝90－（●＋×）＝90－ａ°
（3） 【正答 5√3/6】
ＯＢ＝５÷２＝５/２ｃｍ
直角三角形ＯＢＨの辺の比は１：２：√３でＨはＥＢの中点だから、
ＥＢ＝５/２×√３/２×２＝５√３/２ｃｍ
△ＡＣＤ∽△ＥＢＤで、ＡＣ：ＥＢ＝ＡＤ：ＥＤ
＝３：５√３/２＝６：５√３＝１：５√３/６
よって、ＤＥの長さはＡＤの長さの５√３/６倍。
（4） 【正答 42/25】
ＣからＡＢに垂線ＣＨを引くと、△ＣＨＡも３：４：５の直角三角形。
ＣＡ＝⑤とすると、ＡＨ＝③
△ＡＣＤは二等辺三角形で、ＣＨを対称の軸とするとＤＨ＝ＡＨ＝③
ＡＤ＝３×⑥/⑤＝18/５ｃｍ
ＤＢ＝５－18/５＝７/５ｃｍ
ＣＤ：ＡＤ：ＤＢ
＝３：18/５：７/５
＝⑮：⑱：⑦
△ＡＣＤ∽△ＥＢＤより、ＤＥ＝⑱×⑦/⑮＝〇42/５
ＣＤ：ＤＥ＝⑮：〇42/５＝75：42＝25：14
したがって、△ＯＥＢの面積は、６×14/25×１/２＝42/25㎠
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