【鳥取県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
鳥取県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の各問いに答えなさい。
問1 次の計算をしなさい。
（1） 8－6÷（－2）
（2） √27－6/√3
（3） （3ｘ+ｙ）/2－（2ｘ-5ｙ）/3
（4） 3ab²×（－4a²）÷6b
問2 ax²－9aを因数分解しなさい。
問3 連立方程式x+y=13、3x-2y=9を解きなさい。
問4 二次方程式2x²-5x+1=0を解きなさい。
問5 一次方程式7x=x+3を、次の【解き方】のように解いた。このとき【解き方】の①の式から②の式へ変形してよい理由として、最も適切なものを、あとのア～エから一つ選び、記号で答えなさい。ただし【ⓐ】には方程式の解が入るが、解を求める必要はない。
【解き方】
7x=x+3
7x-x=3
6x=3 ・・・①
x=【ⓐ】 ・・・②
ア ①の式の両辺から3をひいても等式は成り立つから、②の式へ変形してよい。
イ ①の式の両辺から6をひいても等式は成り立つから、②の式へ変形してよい。
ウ ①の式の両辺を3でわっても等式は成り立つから、②の式へ変形してよい。
エ ①の式の両辺を6でわっても等式は成り立つから、②の式へ変形してよい。
問6 ある動物園の入園料は、おとな1人がa円、子供1人がb円である。このとき、入園料についての不等式「4a+5b≦7000」はどんなことを表しているか、入園料という語句を用いて説明しなさい。
問7 右の図Ⅰにおいて、∠xの大きさを求めなさい。ただし、点Oは円の中心であり、3点Ａ，Ｂ，Ｃは円Ｏの周上の点である。
問8 右の図Ⅱのように、BC＝√3ｃｍ、∠Ａ＝30°、∠Ｃ＝90°である直角三角形から、点Ｃを中心とする半径1ｃｍ、中心角90°のおうぎ形を取り除いた図形を、直線ＡＣを回転の軸として1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。
問9 一次関数=-3x+5について述べた文として正しいものを、次のア～エから一つ選び、記号で答えなさい。
ア グラフは点（-3，5）を通る直線である。
イ ｘの値が2倍になるとき、ｙの値も2倍になる。
ウ ｘの変域が1≦ｘ≦2のとき、ｙの変域は－1≦ｙ≦2である。
エ ｘの値が1から3まで変わるとき、ｙの増加量は－3である。
問10 大小2つのさいころを同時に1回投げ、大きいさいころの出た目の数をa、小さいさいころの出た目の数をbとする。このとき、√a+bの値が整数となる確率を求めなさい。ただし、さいころは1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。
問11 右の図Ⅲにおいて、次の【条件】①、②を満たす円を作図しなさい。ただし、作図に用いた線は明確にして、消さずに残しておくこと。
【条件】
①2点A,Bを通る。
②直線ｌ上に円の中心がある。
問12 右の図Ⅳのように、正三角形ABCにおいて、辺AC上に点Dをとる。また、点Aを通り辺BCに平行な直線上にAD＝AEとなる点Eをとる。
ただし、∠CAEは鋭角とする。
このとき、△ABD≡△ACEであることを、次のように証明した。あとの（1）～（3）に答えなさい。
【証明】
△ABDと△ACEで、
仮定より、
AD＝AE…①
△ABCは正三角形だから、
AB＝AC…②
∠BAD＝∠ACB＝60°…③
また、【 a 】は等しいから、
∠CAE＝∠ACB＝60°…④
③、④から、
∠BAD＝∠CAE…⑤
①、②、⑤から、【 b 】が、それぞれ等しいので、
△ABD≡△ACE
（1）証明の【 a 】にあてはまるものとして最も適切なものを、次のア～オからひとつ選び、記号で答えなさい。
ア 対頂角 イ 垂線の同位角 ウ 垂線の錯角 エ 平行線の同位角 オ 平行線の錯角
（2）証明の【 b 】にあてはまる最も適切な語句を入れて、証明を完成させなさい。
（3）△ABD≡△ACEを証明したことにより、新たにわかることとして最も適切なものを、次のア～エからひとつ選び、記号で答えなさい。
ア AB＝AC イ BD＝CE ウ ∠BAD＝∠ACB エ ∠BDC＝∠CAE
解答
【解答】
問1（1） 【正答 11】
問1（2） 【正答 √3】
問1（3） 【正答 （5ｘ+13ｙ）/6】
問1（4） 【正答 -2a³b】
問2 【正答 a(x+3)(x-3)】
問3 【正答 x＝7，y＝6】
問4 【正答 x=(5±√17/4)】
問5 【正答 エ】
問6 【正答 （例）おとな4人と子供5人の入園料の合計金額は7000円以下である。】
問7 【正答 28度】
問8 【正答 7/3πｃｍ³】
問9 【正答 ウ】
問10 【正答 7/36】
問11 【正答 右図】
問12（1） 【正答 オ】
問12（2） 【正答 2組の辺とその間の角】
問12（3） 【正答 イ】
【解説】
問1（1） 8-6÷（-2）＝8+3＝11
問1（2） √27-6/√3＝3√3-6/√3×√3/√3＝3√3-2√3＝√3
問1（3） （3ｘ+ｙ）/2-（2ｘ-5ｙ）/3＝3（3ｘ+ｙ）-2（2ｘ+5ｙ）/6＝9ｘ+3ｙ-4ｘ+10ｙ/6＝（5ｘ+13ｙ）/6
問1（4） 3ab²×(-4a²)÷6b=3ab²×（-4a²）/6b＝-2a³b
問2 ax²-9a=a(x²-9)=a(x+3)(x-3)
問3 y=13-xを代入して、3x-2(13-x)=9 3x-26+2x=9 5x=35 x=7 y=13-7=6
問4 2x²-5x+1=0に解の公式を利用する。
問5 ①の式の両辺を6でわっても等式は成り立つから、正しいものはエである。
問7 ∠ｘ+34°＝124°÷2 ∠ｘ＝62°-34°＝28°
問8 求める体積は、円錐の体積から半球の体積を引いて求められるから、
π/3×（√3）²×3-4/3π×1³÷2＝（3-2/3）π＝7/3π（ｃｍ³）
問9
ア：ｘ＝-3のとき、ｙ＝14≠5だから正しくない
イ：ｙはｘに比例しないから正しくない
ウ：ｘ＝1のときｙ＝2、ｘ＝2のときｙ＝-1だから、-1≦ｙ≦2となり正しい
エ：ｘの値が1から3まで2変わるとき、ｙの増加量は-6だから正しくない。
問10 さいころの目の出方は全部で36通りある。このうち、√a+bが整数となるのは、a+bが4または9のときのみで、7通りある。よって、求める確率は7/36である。
問11 線分ABの垂直二等分線と直線ｌとの交点を中心とし、点Aを通る円を描けばよい。
問12（1） ④が成り立つ理由を考えると、平行線の錯角は等しいとなるからオが最も適切である。
問12（2） △ABDと△ACEの合同条件を考えると「2組の辺とその間の角」である。
問12（3）
ア：仮定より、AB＝ACであり、適切でない。
イ：正しく、適切である。
ウ：仮定より、∠BAD＝∠ACBであり、適切でない。
エ：∠BDC＝∠CAEは成り立たないので、適切でない。
大問2
問題文
A～Eの5か所の農園で、それぞれ1日に400個のいちごを収穫した。その中で、A農園とB農園から標本としてそれぞれ35個のいちごを無作為に抽出した。
このとき、次の各問いに答えなさい。
問1 右の表Ⅰは、A農園で抽出した35個のいちごの重さを調べて、度数分布表にまとめたものである。
ただし、【 a 】には整数が入るものとする。
このとき、次の（1）、（2）に答えなさい。
（1）この表Ⅰをもとに、作成したヒストグラムとして、正しいものを次のア～エからひとつ選び、記号で答えなさい。
（2）A農園で収穫したいちご400個のうち、重さが28ｇ以上30ｇ未満のいちごが、およそ80個あると推定した。このとき相対度数という語句とその値を用いて、どのように推定したか、説明しなさい。
問2 右の表ⅡはB農園で抽出した35個のいちごの重さを調べて。度数分布表にまとめたものである。この度数分布表から最頻値を求めると29ｇであり、中央値は30ｇ以上32ｇ未満の階級に含まれていた。
このとき、表Ⅱの【 b 】【 c 】にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。
問3 次の図はC,D,Eの3か所の農園で、それぞれ収穫した400個のいちごの重さを調べて、箱ひげ図にまとめたものである。この箱ひげ図から読み取れることとして正しいものを、あとのア～オから2つ選び、記号で答えなさい。
ア C農園のいちごの重さの平均値は27ｇである。
イ C,D,Eの農園の中では、第1四分位数と第3四分位数ともに、E農園が一番大きい。
ウ C,D,Eの農園の中で、重さが34ｇ以上のいちごの個数が一番多いのはE農園である。
エ C,D,Eの農園の中では、四分位範囲は、E農園が一番大きい。
オ 重さが30ｇ以上のいちごの個数は、D農園とE農園ともに、C農園の2倍以上である。
解答
【解答】
問1（1） 【正答 エ】
問1（2） 【正答 （例）母集団の400に相対度数0.2をかけることにより、およそ80個であると推定した。】
問2 【正答 b=9,c=8】
問3 【正答 イ,オ】
【解説】
問1（1） 4+6+7+a+6+4＝35 a＝35-27＝8 よって、エ
問2 2+6+b+c+6+4＝35 b+c＝17
最頻値は29ｇであるからb>cである。
また、中央値は18番目であり、これが30ｇ以上32ｇ未満の階級に含まれているから、c=8 よって、b=9
問3
ア：この箱ひげ図から平均値は読み取れないから正しくない。
イ：正しい。
ウ：重さが34ｇ以上のいちごの個数の比較は、D農園とE農園ではできないから正しくない。
エ：四部位範囲が一番大きいのはD農園だから正しくない。
オ：正しい。
大問3
問題文
右の図Ⅰのような1辺の長さが5ｃｍである正方形の紙を、1ｃｍ重ねて貼り合わせていく。
このとき、あとの各問いに答えなさい。
ただし、あとの図Ⅱ～Ⅳの色のついた部分は、1ｃｍ重ねて貼り合わせた部分である。
問1 図Ⅰの正方形の紙6枚を、次の図Ⅱのように横に6枚貼り合わせてできる長方形Pと、図Ⅲのように縦に2枚、横に3枚貼り合わせてできる長方形Qである。
このときあとの（1）、（2）に答えなさい。
（1）図Ⅲにおいて、長方形Qの面積を求めなさい。
（2）長方形Pと長方形Qについて述べた文として正しいものを、次のア～オからひとつ選び、記号で答えなさい。
ア 周の長さは長方形Pの方が長く、面積も長方形Pの方が大きい。
イ 周の長さは長方形Pの方が長く、面積は長方形Qの方が大きい。
ウ 周の長さは長方形Qの方が長く、面積は長方形Pの方が大きい。
エ 周の長さは長方形Qの方が長く、面積も長方形Qの方が大きい。
オ 長方形Pと長方形Qでは、周の長さも面積も等しい。
問2 図Ⅰの正方形の紙を、右の図Ⅳのように縦に3枚、横にa枚貼り合わせてできる長方形の面積が377ｃｍ²になった。
このとき、aの値を求めなさい。
ただし、aは自然数とする。
問3 図Ⅰの正方形の紙を、縦にb枚、横にもb枚貼り合わせて出来る正方形の面積が、3600ｃｍ²以下になるように、なるべく大きな正方形を作る。
このときbの値を求めなさい。ただし、bは自然数とする。
解答
【解答】
問1（1） 【正答 117ｃｍ²
問1（2） 【正答 ア】
問2 【正答 a=7】
問3 【正答 b=14】
【解説】
問1（1） 長方形Qの面積は、
（5+4）×（5+4+2）＝9×13＝117（ｃｍ²）
問1（2） 長方形Qの周の長さは、
2×（9+13）＝2×22＝44（ｃｍ）
長方形Pの面積は、5×（5+4×5）＝5×25＝125（ｃｍ²）
長方形Pの周の長さは、2×（5+25）＝60（ｃｍ）
周の長さはPの方が長く、面積もPの方が大きい。
よって、正しいものはアである。
問2 （5+4×2）×｛5+4（a-1）｝＝377 13（4a+1）＝3777 4a+1＝29 a＝7（枚）
問3 ｛5+4（b-1）｝²≦3600 （4ｂ+1）²≦60²
bは自然数だから、4b+1＞0なので、4b+1≦60
b≦59/4＝14.75
よって、最大のbは、b＝14（枚）
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大問4
問題文
右の図Ⅰのように、関数ｙ＝1/2ｘ²のグラフ上に2点A,Bがある。点A,Bのｘ座標は、それぞれ-2，4である。
このとき、次の各問いに答えなさい。
問1 点Aのｙ座標を求めなさい。
問2 2点A,Bを通る直線の式を求めなさい。
問3 △OABの面積を求めなさい。
問4 右の図Ⅱのように、直線ｘ＝ｔと関数ｙ＝1/2ｘ²のグラフの交点をP、直線ｘ＝ｔと直線ABの交点をQ、直線ｘ＝ｔとｘ軸の交点をRとする。
このとき、次の（1）、（2）に答えなさい。
ただし、ｔ＞4とする。
（1）PQの長さをｔを用いて表しなさい。
（2）PQ：QR＝7：2となるとき、ｔの値を求めなさい。
解答
【解答】
問1 【正答 ｙ＝2】
問2 【正答 ｙ＝ｘ+4】
問3 【正答 12】
問4（1） 【正答 （例）1/2ｔ²-ｔ-4】
問4（2） 【正答 ｔ＝12】
【解説】
問1 ｘ＝-2のとき、ｙ＝2
問2 問1より、A（-2，2） ｘ＝4のとき、ｙ＝8だから、B（4，8）
直線ABの傾きは8-2/4-（-2）＝1だから、直線ABの方程式はｙ＝x+aとおける。
これが点Bを通るから、8=4+a a=4
よって、直線の方程式はｙ＝ｘ+4
問3 △OABの面積は、4×｛4-（-2）｝÷2＝12
問4 （1）ｘ＝ｔのときの、ｙ＝1/2ｘ²、ｙ＝ｘ+4を考えると、
P（ｔ、1/2ｔ²）、Q（ｔ、ｔ+4）だから、
PQ＝1/2ｔ²-（ｔ+4）＝1/2ｔ²-ｔ-4である。
問4 （2）QR＝ｔ+4だから、PQ：QR＝7：2のとき、
2（1/2ｔ²-ｔ-4）＝7（ｔ+4）
ｔ²-2ｔ-8-7ｔ-28＝0
ｔ²-9ｔ-36＝0
（ｔ+3）（ｔ-12）＝0
ｔ＞4より、ｔ＝12
大問5
問題文
次の図Ⅰのように、AB＝5ｃｍ、AD＝10ｃｍ、∠BADが鈍角の平行四辺形ABCDがある。点Cから辺ADにひいた垂線が辺ADと交わる点をEとし、DE＝3ｃｍである。
このとき、あとの各問いに答えなさい。
問1 △ACEの面積を求めなさい。
問2 次の図Ⅱのように、∠ADCの二等分線が辺BC、線分ACと交わる点をそれぞれF,Gとする。また、線分ACと線分BEの交点をHとする。
このとき、あとの（1）～（3）に答えなさい。
（1）AH:HCを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（2）△CGFの面積を求めなさい。
（3）AH:HG:GCを最も簡単な整数の比で答えなさい。
解答
【解答】
問1 【正答 14ｃｍ²】
問2（1） 【正答 7：10】
問2（2） 【正答 10/3ｃｍ²】
問2（3） 【正答 21：13：17】
【解説】
問1 △CDEで三平方の定理より、CE＝√5²-3²＝4（ｃｍ）
よって、△ACE＝7×4÷2＝14（ｃｍ²）
問2（1） △AHE∽△CHBだから、
AH:CH＝AE:CB＝7：10
問2（2） DGは∠ADCの二等分線だから、AG：GC＝AD：CD＝10：5＝2：1…①
△CGF＝△AGD×（1/2）²＝△ACD×2/3×1/4＝10×4×1/2×2/3×1/4＝10/3（ｃｍ²）
問2（3） （1）、①より、
AH:CH＝7：10＝21：30
AG:GC＝2：1＝34：17
であるから、
AH：HG：GC＝21：（34-21）：17＝21：13：17
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