【愛媛県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学
愛媛県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の計算をして、答えを書きなさい。
１ -3-6
２ (2x-5y)/3+(x+3y)/2
３ (3x²y-2xy²)÷xy
４ √10/√2-(√5-2)²
５ (a-3)(a+3)+(a+4)(a+6)
解答
【解答】
１ 【正答 -9】
２ 【正答 (7x-y)/6】
３ 【正答 3x-2y】
４ 【正答 5√5-9】
５ 【正答 2a²+10a+15】
【解説】
２ （与式）={2(2x-5y)+3(x+3y)}/6=(4x-10y+3x+9y)/6=(7x-y)/6
３ （与式）=3x²y/xy-2xy²/xy=3x-2y
４ （与式）=√5-(5-4√5+4)=5√5-9
５ （与式）=a²-9+a²+10a+24=2a²+10a+15
大問2
問題文
次の問いに答えなさい。
１ 二次方程式5x²+4x-1=0を解け。
２ 次の図で、l//mのときの、∠xの大きさを求めよ。
３ 次の表は、A中学校の1年生30人とB中学校の1年生90人について、ある日の睡眠時間を調べ、その結果を度数分布表に整理したものである。この表から分かることを述べた文として正しいものを、次のア～エから1つ選び、その記号を書け。
ア A中学校とB中学校で、最頻値は等しい。
イ A中学校とB中学校で、8時間以上9時間未満の階級の相対度数は等しい。
ウ A中学校で、7時間未満の生徒の割合は、40％以下である。
エ B中学校で、中央値が含まれる階級は、6時間以上7時間未満である。
４ 袋の中に赤玉4個と白玉2個の合計6個の玉が入っている。この袋の中から同時に2個の玉を取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつである確率を求めよ。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
５ 次の図は、円柱の投影図である。この円柱の体積を求めよ。（円周率はπを用いること。）
６ 次の図のように、直線l上に2点A,Bがある。線分ABを1辺とする正方形のうち、A,B以外の頂点が、直線lより上側にあるものを作図せよ。ただし、作図に用いた線は消さずに残しておくこと。
７ 次の資料は、ある中学校が発行した図書館便りの一部である。この図書館便りを読んで、9月に図書館を利用した男子と女子の人数を、それぞれ求めよ。ただし、用いる文字が何を表すかを最初に書いてから連立方程式をつくり、答えを求める過程も書くこと。
解答
【解答】
１ 【正答 x=1/5,-1】
２ 【正答 75度】
３ 【正答 イ】
４ 【正答 8/15】
５ 【正答 90πcm³】
６ 【正答 図を参照】
７ 【正答 下記参照】
【解説】
１ 解の公式を用いればよい。
２ ∠x+35°＝110°より、∠ｘ＝75°
３
ア A,Bの最頻値はそれぞれ、6.5（時間）、7.5（時間）なので正しくない。
イ A,Bの8時間以上9時間未満の相対度数はそれぞれA：7/30、B：21/90＝7/30より、正しい。
ウ Aの7時間未満の生徒の割合は(10+3)/30≒0.43より、正しくない。
エ Bの中央値が含まれる階級は下から45番目と46番目を含む階級だから、7時間以上8時間未満の階級であるため、正しくない。
４ すべての起こりうる場合は15通り。そのうち、赤と白が1個ずつの場合は8通りあるので、8/15
５ 底面が直径6ｃｍの円、高さが10ｃｍの円柱であるから、3²π×10＝90π（cm³）
７
9月に図書館を利用した男子をｘ人、女子をｙ人とすると、
x+y=253-33…①
21/100x+10/1000y=33…②
②から、21x+10y=3300…③
③-①×10よりｘ＝100
ｘ＝100を①に代入して、ｙ＝120
（答）9月に図書館を利用した男子、女子の人数はそれぞれ100人、120人
大問3
問題文
次の会話文は、太郎さんが、数学の授業で学習したことについて、花子さんと話をしたときのものである。
【数学の授業で学習したこと】
太郎さん：選んだ2つの数が3，5のとき、大きい方の整数は53，小さい方の整数は35だから、P＝53-35＝18となり、確かにPは9の倍数だね。
花子さん：それなら、3けたの時はどうなるのかな。1～9の自然数の中から異なる3つの数を選び、この3つの数を並べて出来る3けたの整数のうち、最も大きい整数から最も小さい整数をひいた値をQとして考えてみようよ。
太郎さん：例えば、選んだ3つの数が1，3，4のとき、並べてできる3けたの整数は、134，143，314，341，413，431だね。最も大きい整数は431，最も小さい整数は134だから、Q＝431-134＝297となるね。
花子さん：選んだ3つの数が2，6，7のとき、Qは【ア】となるね。
太郎さん：Qも何かの倍数になるのかな。授業と同じように、文字式を使って考えてみようよ。
花子さん：選んだ3つの数をa,b,c(a>b>c)とすると、最も大きい整数は100a+10b+c、最も小さい整数は【イ】と表されるよね。するとQ＝（100a+10b+c）-（【イ】）となって、これを計算すると、【ウ】×(a-c)となるね。a-cは整数だから、Qは【ウ】の倍数となることが分かるよ。
このとき、次の問いに答えなさい。
１ 会話文中のアに当てはまる数を書け。
２ 会話文中のイに当てはまる式、ウに当てはまる数をそれぞれ書け。
３ 1～9の自然数の中から異なる3つの数の選び、Qについて考えるとき、
（1）Q＝396となるときの、3つの数の選び方は全部で何通りあるか。
（2）選んだ3つの数の中に、3と8の、2つの数が含まれるときのQの値を全て求めよ。
解答
【解答】
１ 【正答 ア 495】
２ 【正答 イ 100c+10b+a ウ 99】
３ 【正答 （1）15通り （2）495，594，693】
【解答】
１ このとき並べてできる3けたの数のうち最も大きいものは762、最も小さいものは267であるから762-267＝495
２ウ Q＝（100a+10b+c）-(100c+10b+a)＝99a-99c＝99（a-c）
３（1） Q＝396となるとき、99（a-c）＝396よって、a-c＝4、したがって（a>b>c）に注意してa-c＝4となる場合を考えればよい。
３（2） 条件を満たす３つの数の選び方は（a,b,c）=（9,8,3）（8,7,3）（8,6,3）（8,5,3）（8,4,3）（8,3,2）（8,3,1）の7通り。このうちQ＝99（a-c）であることを考えると、(a,c)=(9,3)(8,3)(8,1)だけ考えればよいので、Q＝495，594，693
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大問4
問題文
次の図1のように、AB=10cm,BC=acmの長方形ABCDと、∠P＝90°,PQ=PR=bcmの直角二等辺三角形PQRがある。長方形ABCDの辺ABと直角二等辺三角形PQRの辺PQは直線l上にあり、点Aと点Qは同じ位置にある。
この状態から、次の図2のように、直角二等辺三角形PQRを直線lにそって、矢印の向きに、点Qが点Bに重なるまで移動させる。AQ＝xcmのときの、2つの図形が重なっている部分の面積をycm²とする。
このとき、次の問いに答えなさい。
１ a=5,b=6とする。x=3のとき、yの値を求めよ。
２ xとyの関係が次の図3のようなグラフで表され、0≦ｘ≦4では原点を頂点とする放物線、4≦ｘ≦10では右上がりの直線の一部分と、x軸に平行な直線の一部分であるとき、
（1）0≦ｘ≦4のとき、ｙをｘの式で表せ。
（2）a,bの値をそれぞれ求めよ。
解答
【解答】
１ 【正答 y=9/2】
２（1） 【正答 y=1/2x²】
２（2） 【正答 a=4,b=11/2】
【解説】
１ 求める図形は等しい辺の長さが3ｃｍの直角二等辺三角形になるから、y=1/2×3²=9/2
２（1） （4，8）をグラフが通っているからy=ax²にこれらを代入して、8=16aより、a=1/2。したがって、y=1/2x²
２（2） グラフよりx=4のとき辺RQ上に点Dが重なることがわかる。したがって、a=4。グラフより、点Pが点Aより右側にあるときｙ＝14であることがわかる。また、求める図形は次の図のような台形であるから、1/2×｛(b-4)+b｝×4＝14
これを解いてb=11/2
大問5
問題文
次の図のような、線分ABを直径とする半円Oがある。弧AB上に点Cをとり、直線AC上に点Dを、∠ABD＝90°となるようにとる。このとき、次の問いに答えなさい。（円周率はπを用いること）
１ △ABC∽△BDCであることを証明せよ。
２ AC＝3ｃｍ、CD＝1ｃｍであるとき、
（1）線分BCの長さを求めよ。
（2）線分BDと線分CDと弧BCとで囲まれた部分の面積を求めよ。
解答
【解答】
１ 【正答 下記参照】
２（1） 【正答 √3㎝】
２（2） 【正答 (5√3/4-π/2)㎝²】
【解説】
１
△ABCと△BDCにおいて、
ABは直径より、∠ACB＝∠BCD＝90°…①
△ABCで∠ACB＝90°より、∠BAC＝90°-∠ABC…②
また、∠ABD＝90°より、∠DBC＝90°-∠ABC…③
②、③より、∠BAC＝∠DBC…④
①、④より、2組の角がそれぞれ等しいから。
△ABC∽△BDC
２（1） △ABC∽△BDCより、BC：1＝3：BC BC²＝3 BC＞0より、BC＝√3
２（2） 求める面積は（四角形COBD）-（おうぎ形OBC）＝△DCB+△COB-（√3）²π×1/6＝√3/2+3√3/4-π/2＝5√3/4-π/2
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