【高知県】令和3年度/2021年度入学者高校入試選抜試験：数学
高知県の2021年3月実施の令和3年度（2021年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1）次の ① ～ ④ を計算せよ。
① 2－（－5）－9
② 3x-y/4ーx+2y/3
③ a²b×（－3b）÷6ab²
（2）50本の鉛筆を，7人の生徒に1人a 本ずつ配ると，b 本余った。このとき，b をa の式で表せ。
（3）a は正の数とする。次の文字式のうち，式の値がa の値よりも小さくなる文字式はどれか。次のア～エからすべて選 び，その記号を書け。
ア a＋（-1/2）
イ aー（-1/2）
ウ a×（-1/2）
エ a ÷（-1/2）
（4）2次方程式 （x－4）（x＋2）＝3x－2 を解け。
（5） 関数y＝ax2について，x の変域が－2≦x ≦－1のとき，y の変域は3≦y ≦12である。このときのa の値を求めよ。
（6） 次の図は，高さがすべて等しい立体の投影図である。次の投影図で表されたア～ウの立体を，体積の小さいものから順に並べ，その記号を書け。
（7） 次のグラフは，ある中学校の 3 年生女子 40 人について，50ｍ走の記録をヒストグラムで表したものである。このヒストグラムでは，例えば，50ｍ走の記録が 8.0 秒以上 8.5 秒未満の女子が 6 人いることがわかる。
このヒストグラムにおいて，中央値を含む階級の相対度数を求めよ。
（8）次の図のように，2 つの半直線ＡＢ，ＡＣがあり，半直線ＡＢ上に点Ｄをとる。2 つの半直線ＡＢ，ＡＣの両方に接する円のうち，点Ｄで半直線ＡＢと接する円の中心Ｐを，定規とコンパスを使い，作図によって求めよ。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
解答
（1）① 【正答 -2】
（1）② 【正答 5ｘ-11ｙ/12】
（1）③ 【正答 -a/2】
（1）④ 【正答 2√2】
（2） 【正答 b＝50-7a】
（3） 【正答 ア、ウ、エ】
（4） 【正答 ｘ＝-1，6】
（5） 【正答 a＝3】
（6） 【正答 ウ、ア、イ】
（7） 【正答 0.25】
（8） 【正答】
大問2
問題文
ひかるさんたちの学級では，数学の授業で次の〔問題〕に取り組んだ。下の【ひかるさんのつくった方程式】と【まことさんのつくった方程式】は，ひかるさんとまことさんがこの問題を正しく解くためにつくった方程式である。【ひかるさんのつくった方程式】の中の【あ】とまことさんのつくった方程式】の中の【う】には，x とy を使った文字式がそれぞれ入る。また，【ひかるさんのつくった方程式】の中の【い】と【まことさんのつくった方程式】の中の【い】には，同じ数字が入る。このことについて，下の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 【ひかるさんのつくった方程式】の中のx が表しているものとして適切なものを，次のア～エから1つ選び，その記号を書け。
ア 地点Ａから地点Ｐまでの道のり
イ 地点Ｐから地点Ｂまでの道のり
ウ 地点Ａから地点Ｐまで移動するのにかかった時間
エ 地点Ｐから地点Ｂまで移動するのにかかった時間
（2） 【ひかるさんのつくった方程式】の中の【あ】に当てはまる文字式と，【い】に当てはまる数字を，それぞれ書け。
（3） 【まことさんのつくった方程式】の中の【う】に当てはまる文字式として適切なものを，次のア～エから1つ選び，その記号を書け。
ア 240x＋75y
イ x/240＋y/75
ウ 240/x＋75/y
エ 240/x＋y/75
解答
（1） 【正答 ウ】
（2）あ 【正答 ｘ+ｙ】
（2）い 【正答 4200】
（3） 【正答 イ】
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大問3
問題文
次の図1のように，1辺が5cm の正方形ＡＢＣＤと，ＥＧ＝15cm，∠ＥＧＦ＝90°の直角二等辺三角形ＥＦＧがある。辺ＢＣと辺ＦＧは直線ℓ上にあり，頂点Ｃと頂点Ｆは重なっている。いま，この状態から，直角二等辺三角形ＥＦＧを固定し，正方形ＡＢＣＤを直線ℓに沿って，矢印➡の向きに毎秒1cm の速さで，頂点Ｂが頂点Ｇに重なるまで動かす。正方形ＡＢＣＤを動かし始めてからx 秒後に，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧが重なる部分の面積をy cm2とする。図2は，動かし始めてから2秒後の正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧの位置を表しており，図中の斜線部分は，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧが重なった部分を表している。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。ただし，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧと直線ℓは同じ平面上にあるものとし，x＝0のとき，y＝0とする。
（1）x＝3のときのy の値を求めよ。
（2）y の値が最大となるのは，正方形ＡＢＣＤを動かし始めて何秒後から何秒後までの間か。このときのx の値の範囲を，不等号を使って表せ。
（3）y＝8となるx の値をすべて求めよ。
解答
（1） 【正答 ｙ＝9/2】
（2） 【正答 10≦ｘ≦15】
（3） 【正答 ｘ＝4，92/5】
大問4
問題文
次の図のように，1，2，3，4，5，6の数字が1つずつ書かれた6個の玉が入っている袋がある。この袋の中から玉を1個ずつ2回取り出す。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。ただし，この袋からどの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。
（1）袋の中から1個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字をa とする。1個目の玉を袋の中に戻さずに，2個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字をb とする。このとき，a，b ともに奇数となる確率を求めよ。
（2）袋の中から1個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字をm とする。1個目の玉を袋の中に戻してよく混ぜてから， 2個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字をn とする。このとき，㎡が4 n より大きくなる確率を求めよ。
解答
（1） 【正答 1/5】
（2） 【正答 17/36】
大問5
問題文
次の図において，①は原点Ｏを通る直線，②は関数y＝6/xのグラフである。①と②は2つの交点をもつものとし，そのうちのx 座標が正である点をＡとする。ＡＯ＝ＡＢとなる点Ｂをx 軸上にとり，三角形ＡＯＢをつくる。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1）点Ａのx 座標が2のとき，点Ａのy 座標を求めよ。
（2）三角形ＡＯＢが直角二等辺三角形となるときの直線①の式を求めよ。
（3）三角形ＡＯＢの面積は，点Ａが②のグラフ上のどの位置にあっても，常に同じ値であることが言える。
点Ａのx 座標をm とすると，m がどんな値であっても，三角形ＡＯＢの面積は一定であることを，言葉と式を使って説明せよ。
解答
（1） 【正答 3】
（2） 【正答 ｙ＝ｘ】
（3） 【正答 (例)
△AOBはAO=ABである二等辺三角形なので、点Aのｘ座標がｍより底辺OBの長さは2ｍとなる。
また、点Aは②のグラフ上の点なので、点Aの座標が（m,6/m）となることから、△AOBの高さは6/mとなる。
よって、△AOBの面積は2ｍ×6/m×1/2＝6 である。
したがって、ｍがどんな値であっても△AOBの面積は一定である。】
大問6
問題文
下の図のように，線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。円Ｏの周上に∠ＣＡＢ＝45°となるような点Ｃをとり，点Ａと点Ｃを結ぶ。線分ＯＢ上に点Ｄをとり，線分ＣＤを点Ｄの方向へ延長したときの円Ｏとの交点をＥとする。点Ａと点Ｅ，点Ｂと点Ｅをそれぞれ結ぶ。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
（1）ＡＥＣ∽ ＤＥＢを証明せよ。
（2）円Ｏの半径を6cm，ＯＤ＝2cm とするとき，次の①・②の問いに答えよ。
① 線分ＡＣの長さを求めよ。
② 点Ｂと点Ｃを結ぶ。このとき，四角形ＡＥＢＣの面積は，三角形ＤＥＢの面積の何倍か。
解答
（1） 【正答 (例)
△AECと△DEBにおいて
∠ACE、∠DBEはそれぞれAEに対する円周角なので
∠ACE＝∠DBE…①
∠CAB,∠DEBはそれぞれBCに対する円周角なので
∠CAB＝∠DEB
また、∠CAB＝45°なので
∠CAB＝45°…②
∠AEBは半円の弧に対する円周角なので
∠AEB＝90°…③
②、③より
∠AEC＝∠AEBー∠DEB
＝90°ー45°
＝45°…④
②、④より
∠AEC＝∠DEB…⑤
①、⑤より2組の角がそれぞれ等しい。
したがって△AEC∽△DEB】
（2）① 【正答 6√2㎝】
（2）② 【正答 27/4倍】
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