兵庫県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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大問1

問題文

(1) -3-(-9)を計算しなさい。

(2) 20xy²÷(-4xy)を計算しなさい。

(3) 4√3-√12を計算しなさい。

(4) x²+2x-8を因数分解しなさい。

(5) yはxに反比例し、x=-6のときy=2である。y=3のときのxの値を求めなさい。

(6) 図1のように、底面の半径が3㎝、母線の長さが6㎝の円すいがある。この円すいの側面積は何㎠か、求めなさい。ただし、円周率はπとする。

(7) 図2で、l//mのとき、∠xの大きさは何度か、求めなさい。

(8) 表は、ある農園でとれたイチジク1000個から、無作為に抽出したイチジク50個の糖度を調べ、その結果を度数分布表に表したものである。この結果から、この農園でとれたイチジク1000個のうち、糖度が10度以上14度未満のイチジクは、およそ何個と推定されるか、最も適切なものを、次のア～エから1つ選んで、その符号を書きなさい。
ア およそ150個
イ およそ220個
ウ およそ300個
エ およそ400個

解答・解説

(1) -3-(-9)=-3+9=6

(2) 20xy²÷(-4xy)=-5y

(3) 4√3-√12=4√3-2√3=2√3

(4) x²+2x-8=(x+4)(x-2)

(5) 条件より、 2=a/-6 ∴a=-12
よって、y=-12/x が成り立つ。この式にy=3を代入して、
3=-12/x
3x=-12
x=-4・・・(A)

(6) 6²×π×2×3×π/2×6×π=18π(㎠)・・・(A)

(7) x=130°-55°=75°・・・(A)

(8) ウ

大問2

問題文

図1のように、OA=2㎝、AB=4㎝、∠OAB=90°の直角三角形OABがある。2点P、Qは同時にOを出発し、それぞれ次のように移動する。

点P
・辺OA上をOからAまで秒速1㎝の速さで移動する。
・Aに着くと、辺OA上を移動するときとは速さを変えて、辺AB上をAからBまで一定の速さで移動し、Bに着くと停止する。
点Q
・辺OBをOからBまで、線分PQが辺OAと垂直になるように移動し、Bに着くと停止する。

2点P、QがOを出発してからx秒後の△OPQの面積をy㎠とする。ただし、2点P、QがOにあるとき、および2点P、QがBにあるとき、△OPQの面積は0㎠とする。次の問いに答えなさい。

(1) 2点P、QがOを出発してから1秒後の線分PQの長さは何㎝か、求めなさい。

(2) 0≦x≦2のとき、xとyの関係を表したグラフとして最も適切なものを、次のア～エから1つ選んで、その符号を書きなさい。

(3) 2≦x≦10のとき、xとyの関係を表したグラフは図2のようになる。
➀図2の【 i 】にあてはまる数を求めなさい。
②点Pが辺AB上を移動するとき、点Pの速さは秒速何㎝か、求めなさい。
③2点P、QがOを出発してからt秒後の△OPQの面積と、(t+4)秒後の△OPQの面積が等しくなる。このとき、tの値を求めなさい。ただし、0<t<6とする。

解答・解説

(1) PQ=√(OQ²-OP²)=√((√5)²-1²)=√(5-1)=2(㎝)・・・(A)

(2) 1/2×OA×AB=1/2×2×4=4・・・(A)

(3) 4÷8=1/2(㎝/秒)・・・(A)

➀ 1/2×OA×AB=1/2×2×4=4・・・(A)

② 4÷8=1/2(㎝/秒)・・・(A)

③点Pが辺OA上にあるとき(0<t≦2)の、△OPQの面積は
1/2×OP×PQ=1/2×t×2t=t²・・・➀
点Pが辺AB上にあるとき(2<t<6)の、△OPQの面積は
1/2×PB×OA=1/2×(AB-PA)×2=4-(1/2×(t+4-2))=4-(1/2t+1)=3-1/2t・・・②
➀と②が等しくなるから、
t²=3-1/2t
2t²=6-t
2t²+t-6=0
(2t-3)(t+2)=0
t=3/2、-2
ここで、0<t<6であるから、t=3/2・・・(A)

大問3

問題文

図のように、AB=12㎝、BC=18㎝の△ABCがある。∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとすると、BD=8㎝となる。次の問いに答えなさい。

(1) ∠ACD=∠CADであることを次のように証明した。【 i 】【 ii 】にあてはまるものを、あとのア～カからそれぞれ1つ選んでその符号を書き、この証明を完成させなさい。

<証明>
まず、△ABC∽△DBAであることを証明する。
△ABCと△DBAにおいて、
仮定から、
AB：DB＝3：2・・・①
【 i 】=3：2・・・②
①、②より、
AB：DB=【 i 】・・・③
共通な角だから、
∠ABC=∠DBA・・・④
③、④より、
2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ABC∽△DBA
したがって、∠ACB=∠【 ii 】・・・⑤
仮定から、∠【 ii 】=∠DAC・・・⑥
⑤、⑥より、∠ACD=∠CAD

ア BC：BA
イ BA：BC
ウ BC：DB
エ ABD
オ DAB
カ ADB

(2) 線分ADの長さは何㎝か、求めなさい。

(3) 線分ACの長さは何㎝か、求めなさい。

(4) 辺AB上に、DE=8㎝となるように、点Bと異なる点Eをとる。また、辺AC上に点Fをとり、AE、AFをとなり合う辺とするひし形をつくる。このひし形の面積は、△ABCの面積の何倍か、求めなさい。

解答・解説

(1) 【 i 】ア、【 ii 】オ

(2) (1)より∠ACD=∠CADなので△DCAは二等辺三角形であるから、
AD=CD=10(㎝)・・・(A)

(3)ADが∠BACの二等分線であるから、
BD：DC=AB：AC
となる。よって、
8：18-8=12：AC
8：10=12：AC
8AC=120
AC=15(㎝)・・・(A)

(4)△AEDと△AFDについて、
AE=AF
AD共通
∠EAD=∠FAD
そのため、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AED≡△AFD
よって、△ABDと△CFDについて、
AD=CD・・・①
BD=ED=FD・・・②
また、∠BAD=∠DAC=∠FCD・・・③
△BDEは二等辺三角形であるから、∠ABD=∠BED・・・④
△AED≡△AFDより、∠AED=∠AFD・・・⑤
∠BED=180°-∠AED・・・⑥
∠CFD=180°-∠AFD・・・⑦
④⑤⑥⑦より、∠ABD=∠CFD・・・⑧
③⑧より、∠ADB=∠CDF・・・⑨
①②⑨より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△CFD
よって、CF=AB=12
そのため、AE=AF=15-12=3(㎝)
これにより、△AEF：△ABC=(3×3)：(12×15)=1：20
ひし形AEGF=2×△AEFだから、1/20×2=1/10(倍)・・・(A)

大問4

問題文

図のように、関数y=x²のグラフ上に異なる2点A、Bがあり、関数y=ax²のグラフ上に点Cがある。点Cの座標は(2,-1)であり、点Aと点Bのy座標は等しく、点Bと点Cのx座標は等しい。
次の問いに答えなさい。ただし、座標軸の単位の長さは1㎝とする。

(1) 点Aのx座標を求めなさい。

(2) aの値を求めなさい。

(3) 直線ACの式を求めなさい。

(4) 3点A、B、Cを通る円を円O’とする。
①円O’の直径の長さは何㎝か、求めなさい。
②円O’とx軸の交点のうち、x座標が正の数である点をDとする。点Dのx座標を求めなさい。

解答・解説

(1) 点Bと点Cのx座標は等しいから、x=2をy=x²に代入して、y=4
よって、点Bの座標は(2,4)
点Aはy軸に関して点Bと対称であるから、点Aのx座標は-2・・・(A)

(2) y=ax²に点C(2,-1)を代入して、-1=4a ∴a=-1/4・・・(A)

(3) 求める直線ACの式をy=bx+cとおく。
A(-2,4)とC(2,-1)をそれぞれ代入して、
4=-2b+c
-1=2b+c
この連立方程式を解くと、b=-5/4、c=3/2
よって、直線ACの式は y=-5/4x+3/2・・・(A)

(4)
①円周角と直径の関係より∠ABC=90°であるから、ACが直径となる。
よって、 AC=√(AB²+BC²)=√(16+25)=√41(㎝)・・・(A)

②D(t,0)とおく（t>0）。
ACの中点をEとすると、
E(-2+2/2,4+(-1)/2)=(0,3/2)
これが円O’の中心となる。ED=√41/2なので、三平方の定理より、
OD²+OE²=ED²
t²+(3/2)²=(√41/2)²
4t²+3²=(√41)²
4t²=32
t²=8
t>0より、t=2√2
しがって点Ｄのx座標は2√2・・・(A)

大問5

問題文

さいころ1つと大きな箱が1つある。また、1，2，3，4，5，6の数がそれぞれ1つずつ書かれた玉がたくさんある。箱の中が空の状態から、次の[操作]を何回か続けて行う。そのあいだ、箱の中から玉は取り出さない。

あとの問いに答えなさい。ただし、玉は[操作]を続けて行うことができるだけの個数があるものとする。また、さいころの1から6までのどの目が出ることも同様に確からしいとする。

[操作]
(i) さいころを1回投げ、出た目を確認する。
(ii) 出た目の約数が書かれた玉を、それぞれ1個ずつ箱の中に入れる。
例：(i)で4の目が出た場合は、(ii)で1、2、4が書かれた玉をそれぞれ1個ずつ箱の中に入れる。

(1) (i)で6の目が出た場合は、(ii)で箱の中に入れる玉は何個か、求めなさい。

(2) [操作]を2回続けて行ったとき、箱の中に4個の玉がある確率を求めなさい。

(3) [操作]をn回続けて行ったとき、次のようになった。
・n回のうち、1の目が2回、2の目が5回出た。3の目が出た回数と5の目が出た回数は等しかった。
・箱の中には、全部で52個の玉があり、そのうち1が書かれた玉は21個であった。4が書かれた玉の個数と6が書かれた玉の個数は等しかった。

➀nの値を求めなさい。

②5の目が何回出たか、求めなさい。

③52個の玉のうち、5が書かれた玉を箱の中から全て取り出す。その後、箱の中に残った玉をよくかき混ぜてから、玉を1個だけ取り出すとき、その取り出した玉に書かれた数が6の約数である確率を求めなさい。ただし、どの玉が取り出されることも同様に確からしいとする。

解答・解説

(1) 6の約数は1，2，3，6であるから、箱の中に入れる玉は4個。・・・(A)

(2) 箱の中に4個の玉があるのは、1個+3個、3個+1個、2個+2個となるときである。
1個となるのは1、3個となるのは4、2個となるのは2，3，5の目が出たときである。
よって、求める確率は
1/6×1/6+1/6×1/6+3/6×3/6=11/36・・・(A)

(3)
➀操作を1回行うごとに必ず1が書かれた玉を1つ箱に入れるので、n=21・・・(A)

②3の目と5の目が出た回数をx回とおく。
また、4が書かれた玉と6が書かれた玉の個数が等しいことから、4と6の目が出た回数も等しくなる。これをy回とおく。
1の目が2回、2の目が5回出たときに入れる玉の個数は
1×2+2×5=12(個)
となる。残り40個の玉は3～6の目が出て入れたことになる。これより、
2x+3y+2x+4y=4x+7y=40・・・➀
また、3～6の目は21-7=14(回)出ているので、2(x+y)=14 ∴x+y=7・・・②
➀②の連立方程式を解くと、 x=3、y=4
よって、5の目が出た回数は3回・・・(A)
③5の玉は3個入っているので、これを取り出すと残りは49個である。6の約数でない数は4で、これは4個入っている。
よって、求める確率は 49-4/49=45/49・・・(A)

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