【高知県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学
高知県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1）次の ① ～ ④ を計算せよ。
① 3+(-6)-(-8)
② (5x-y)/3-(x-y)/2
③ 8a²b÷(-2a³b²)×(-3a)
④ 12/√6+3√3×(-√2)
（2）ある高校で、スキー研修に参加する生徒に対して、スキーの経験があるかどうかを調べたところ、男子a人のうちの2/5,女子b人のうちの1/4がスキーの経験があると答え、スキー経験がある生徒の合計は35人であった。このとき、bをaの式で表しなさい。
（3）次の関数のうち、x>0の範囲において、xの値が増加するとyの値が減少する関数はどれか。次のア～エからすべて選び、その記号を書きなさい。
ア y=-3x
イ y=-3/x
ウ y=x-3
エ y=-3x²
（4）2次方程式 x²+2x-14=0の解を求めなさい。ただし、「(x+▲)²=●」の形に変形して平方根の考え方を使って解き、解を求める過程がわかるように、途中の式を書くこと。
（5） 関数y＝3x²について，x の変域がa≦x ≦1のとき，y の変域は0≦y ≦12である。このときのa の値を求めなさい。
（6）次の図のように、四角形ABCDがあり、対角線ACと対角線BDの交点をEとする。∠ABE＝34°、∠BAD＝90°、∠BCE＝56°、∠BEC＝80°であるとき、∠CDEの大きさは何度か。
（7）次のグラフは，ある中学校の 3 年生男子50 人について，立ち幅跳びの記録をヒストグラムで表したものである。このヒストグラムでは，例えば，立ち幅跳びの記録が170ｃｍ以上180ｃｍ未満の男子が 3 人いることがわかる。
このヒストグラムにおいて，3年生男子50人をもとにした、立ち幅跳びの記録が200ｃｍ以上230ｃｍ未満の生徒の人数の割合は何％か。
（8）次の図のような、三角形ABCがある。2辺AB,ACから等しい距離にあり、2点A,Bから等しい距離にある点Pを、定規とコンパスを使い、作図によって求めなさい。ただし、定規は直線をひくときに使い、長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお、作図に使った線は消さずに残しておくこと。
問題文
【解答】
（1）① 【正答 5】
（1）② 【正答 (7x+y)/6】
（1）③ 【正答 12/b】
（1）④ 【正答 -√6】
（2） 【正答 b＝-8/5a+140】
（3） 【正答 ア、エ】
（4） 【正答 下記参照】
（5） 【正答 a＝-2】
（6） 【正答 46度】
（7） 【正答 60％】
（8） 【正答 図参照】
【解説】
（1）① （与式）=3-6+8=5
（1）② （与式）={2(5x-y)-3(x-y)}/6=(7x+y)/6
（1）③ （与式）=8a²b×(-3a)/-2a³b²=12/b
（1）④ （与式）=2√6-3√6=-√6
（2） 2/5a+1/4b=35を4倍すると、8/5a+b=140
（4）
ｘ²+2ｘ+1-15＝0
（ｘ+1）²＝15
ｘ+1＝±√15
ｘ＝-1±√15
（5）
y=3x²について、y=12を代入すると、3x²=12
これを解くと、ｘ²＝4より、ｘ＝-2，2
a≦1より、a＝-2
（6）
△BCEについて、内角の和は180°であるから、
∠CBE＝180°-（80°+56°）＝44°
△ABEについて、外角の定理を利用して、
∠EAB＝80°-34°＝46°
∠EAD＝90°-46°＝44°
∠CBE＝∠EAD
すなわち、∠CBD＝∠CAD
4点A,B,C,Dは同一円周上にある。
円周角の定理より、
∠CDE＝∠CDB＝∠CAB＝46°
（7） 200ｃｍ以上230ｃｍ未満の生徒は30人いるので、30/50×100＝60（％）
（8） ∠Aの二等分線と線分ABの垂直二等分線の交点をPとする。
大問2
問題文
れいさんは、次の表をもとにした数学の問題に取り組んだ。この表は、1行目1列目に1を置き、右の列に移るごとに数が2増え、下の行に移るごとに数が3増えるように並べたものである。このことについて、次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） れいさんは、上の表の中の色塗り部分で示された4つの数に注目した。上の表では、色塗り部分で示された4つの数で、右上の数と左下の数の積から、左上の数と右下の数の積を引くと6となる。れいさんは色塗り部分がどの位置にあっても、このことが言えることを、文字式を使って説明することにした。次の【れいさんのノート】は、れいさんが正しく説明したノートの一部であり、【あ】には、説明の続きが入る。【あ】に入る内容を、言葉と式を使って書き、説明を完成させなさい。
【れいさんのノート】
（2） れいさんは、次に表の中の数を文字式を使って表してみようと考えた。次の【れいさんのノート】は、れいさんが表の中の数を文字式で表すための考えを正しく書いたノートの一部である。このとき、れいさんのノートの【い】に当てはまる文字式を、最も簡単な形で書きなさい。
【れいさんのノート】
（3） 表の中の5列目に注目し、縦に連続して並んだ4つの数の和を考えると、例えば、2行目から5行目までの数の和は、12+15+18+21＝66である。5列目の縦に連続して並んだ4つの数の和が222になるとき、この4つの数の中で最も大きい数は、5列目の何行目にあるか。
解答
【解答】
（1） 【解答例 下記参照】
（2） 【正答 3ｍ+2ｎ-4】
（3） 【正答 18行目】
【解説】
（1）
右上、左下、右下の数はそれぞれ、ｘ+2，ｘ+3，ｘ+5と表されるので、
(x+2)(x+3)-x(x+5)=x²+5x+6-(x²+5x)=6
したがって、右上の数と左下の数の積から、左上の数と右下の数の積を引くと、6になる。
（2） 1+3(m-1)+2(n-1)=3m+2n-4
（3）
ｍ行目5列目から（ｍ+3）行目5列目までの縦に連続して並ぶ4つの数の和は
3ｍ+2×5-4+3（ｍ+1）+2×5-4+3（ｍ+2）+2×5-4+3（ｍ+3）+2×5-4＝12ｍ+42
と表せるので、12ｍ+42＝222 ｍ＝15
したがって、4つの数の中で最も大きい数はｍ+3＝18（行目）にある。
大問３
問題文
次の図のように、【あ】、【い】、【う】、【え】、【お】の5つのマスがあり、こまを【あ】のマスに置く。1個のさいころを2回投げて、下の【ルール】にしたがって、こまを矢印の向きに移動させる。このとき、次の（1）・（2）の問いに答えなさい。ただし、さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（1）【ルール】にしたがって、さいころを2回投げてこまを移動させたとき、こまが【あ】のマスにある確率を求めなさい。
（2）【ルール】にしたがって、1回目にさいころを投げてこまを移動させた時と、1回目に続けて2回目にさいころを投げてこまを移動させた時とで、こまが異なるマスにある確率を求めなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 7/36】
（2） 【正答 5/6】
【解説】
（1）
1，2，3，4，5，6の目が出るとき、移動距離は、
1回目…1，2，3，4，5，6
2回目…3，6，9，12，15，18
さいころを2回投げて、こまが【あ】に到達するためには移動距離が5，10，15，20になればよい。
1回目と2回目の移動距離の組み合わせは、
（1回目,2回目）＝（1,9）（2,3）（2,18）（3,12）（4,6）（5,15）（6,9）の7通り。
したがって、求める確率は、7/6×6＝7/36
（2）
2回目に5の目が出ると、5×3＝15移動することになる。すなわち、3周して、1回目の移動を終えたときのマスに戻ってしまう。1回目と2回目の移動終了後のマスが異なるためには、2回目に出るさいころの目が5以外（＝1，2，3，4，6）であればよい。
したがって、求める確率は、6×5/6×6＝5/6
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大問4
問題文
次の図のように、四角形ABCDがあり、AB＝3√2ｃｍ、BD＝12ｃｍ、BC＝CD、∠ABD＝45°、∠BCD＝90°である。点Pは、点Bから対角線BD上を毎秒1ｃｍの速さで動き、点Dでとまる。また、点Pを通り対角線BDと垂直な直線lが、辺ABまたは辺ADと交わる点をQ、辺BCまたは辺CDと交わる点をRとして、点Pが点Bから動き始めてｘ秒後の線分QRの長さをｙｃｍとする。ただし、0≦ｘ≦12とし、ｘ＝0,ｘ＝12のときは、ｙ＝0とする。このとき、次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1）ｘ＝3のときのｙの値を求めなさい。
（2）3≦ｘ≦6のとき、ｙをｘの式で表しなさい。
（3）ｙ＝4となるｘの値をすべて求めなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 ｙ＝6】
（2） 【正答 ｙ＝2/3ｘ+4】
（2） 【正答 ｘ＝2，9】
【解説】
四角形ABCDを座標平面上におく。横軸をｘ軸、縦軸をｚ軸とし、次の図のように頂点Bを原点Oに、対角線BDをｘ軸にそれぞれ重ねる。
（1）
ｘ＝3のとき、Pは（3，0）にQは（3，3）にRは（3，-3）に到達する。
ｙ＝QR＝[QとRのｚ座標の差]＝3-（-3）＝6
（2）
3≦ｘ≦6のとき（→イのとき）
Qは直線AD…z＝-1/3ｘ+4の上にある。
Rは直線BC…z=-xの上にある。
Q₂（x,-1/3x+4）、R₂(x,-x)と表せるので、
ｙ＝Q₂R₂＝-1/3ｘ+4-（-ｘ）＝2/3ｘ+4
（3）
（2）と同様に、0≦ｘ≦3および6≦ｘ≦12のときについてもｙをｘの式で表す。
0≦ｘ≦3のとき（→アのとき）
Qは直線BA…z＝ｘの上にある。
Rは直線BC…z=-xの上にある。
Q₁（x,x）、R₁(x,-x)
ｙ＝Q₁R₁＝x-（-ｘ）＝2x
6≦ｘ≦12のとき（→ウのとき）
Qは直線AD…z＝-1/3ｘ+4の上にある。
Rは直線CD…z=x-12の上にある。
Q₃（x,-1/3x+4）、R₃(x,x-12)
ｙ＝Q₃R₃＝-1/3x+4-(x-12)=-4/3x+16
これらをまとめると
0≦ｘ≦3…ｙ＝2ｘ
3≦ｘ≦6…ｙ＝2/3ｘ+4
6≦ｘ≦12…ｙ＝-4/3x+16
ｙ＝4となるのは、2回あり、0≦ｘ≦3と6≦ｘ≦12の時である。
詳細は次のグラフ参照。
大問5
問題文
次の図において、①は関数y=ax²(a>0)、②は関数y=2x²のグラフである。点Aは①のグラフ上にあり、点Bは②のグラフ上にあり、点Aの座標（6，12）、点Bのｘ座標は－２である。このとき、次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1）aの値を求めなさい。
（2）2点A,Bを通る直線の式を求めなさい。
（3）直線ABとｙ軸との交点をCとする。このとき、点Cを通り、三角形OABの面積を2等分する直線の傾きを求めなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 a=1/3】
（2） 【正答 y=1/2x+9】
（3） 【正答 -5/2】
【解説】
（1） y=ax²のグラフがA（6，12）を通るので、12＝a×6² a=1/3
（2） B（-2，8）、A（6，12）を通る直線の式はy=1/2x+9
（3） Cを通り、△OABの面積を2等分する直線がOAと交わる点をPとする。
BC：CA＝（BとCのｘ座標の差）：（CとAのｘ座標の差）＝2：6＝1：3
△PAC/△OAB＝AC/AB×AP/AOより。
1/2＝3/4×AP/AO
AP/AO＝2/3となるので、OP：OA＝1：3
A（6，12）より、Pの座標は（6×1/3，12×1/3）＝（2，4）
C（0，9）、P（2，4）より、直線CPの傾きは、4-9/2-0＝-5/2
大問6
問題文
次の図のような、平行四辺形ABCDがある。辺AD上にAE：ED＝1：2となる点Eをとり、辺BC上に、BE//FDとなる点Fをとる。線分ACと線分BEの交点をG、線分ACと線分FDの交点をHとする。このとき、次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
（1）△ABG≡△CDHを証明しなさい。
（2）線分FDと線分CEの交点をIとしたとき、平行四辺形ABCDの面積は、三角形IHCの面積の何倍か。
解答
【解答】
（1） 【正答 下記参照】
（2） 【正答 72倍】
【解説】
（1）
△ABGと△CDHのおいて、平行四辺形ABCDの2組の対辺はそれぞれ等しいので、
AB＝CD…①
AB//CDより錯覚が等しいので、
∠BAG＝∠DCH…②
AD//BCより錯覚が等しいので、
∠AEB＝∠CBE…③
BE//FDより同位角が等しいので、
∠CBE＝∠CFD…④
③、④より、∠AEB＝∠CFD…⑤
平行四辺形ABCDの2組の対角はそれぞれ等しいので、
∠BAD＝∠DCB…⑥
∠ABG＝180°-∠AEB-∠BAD
∠CDH＝180°-∠CFD-∠DCB
⑤、⑥より、∠ABG＝∠CDH…⑦
①、②、⑦より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
△ABG≡△CDH
（2）平行四辺形ABCDの面積をSとする。
△ACE＝△ACD×1/1+2＝1/2S×1/3＝1/6S
△ICH＝△ACE×CI/CE×CH/CA…（＊）
△IDE∽△IFCより、
IE：IC＝DE：FC＝2：1、CI/CE＝1/3
△HDA∽△HFCより、
HA：HC＝DA：FC＝3：1、CH/CA＝1/4
（＊）…△ICH＝1/6S×1/3×1/4＝1/72S
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