奈良県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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大問1

問題文

次の各問いに答えよ。

(1) 次の①～④を計算せよ。

① 7-(-6)

②15+(-4)²÷(-2)

③(x+2)(x-5)-2(x-1)

④√2×√6-√27

(2) 連立方程式 x+4y=5, 4x+7y=-16 を解け。

(3) 2次方程式x²+5x+1=0を解け。

(4) a<0,b<0のとき、a+b,a-b,ab,a/bのうちで、式の値が最も小さいものはどれか。

(5) 図1の2つの三角すいA、Bは相似であり、その相似比は2：3である。三角すいAの体積が24㎤であるとき、三角すいBの体積を求めよ。

(6) 図2で数直線上を動く点Pは、最初原点Oにある。点Pは、1枚の硬貨を1回投げるごとに、表が出れば正の方向に1だけ移動し、裏が出れば負の方向に2だけ移動する。硬貨を3回投げて移動した結果、点Pが原点Oにある確立を求めよ。

(7) 省略。

(8) A中学生の1年生75人と3年生90人に、通学時間についてアンケートをした。図4は、その結果について、累積相対度数を折れ線グラフに表したものである。例えば、このグラフから、1年生では通学時間が10分未満の生徒が、1年生全体の42%であることを読み取ることができる。図4から読み取ることができることがらとして適切なものを、次のア～オから全て選び、その記号を書け。

ア 数学時間の中央値は、1年生の方が3年生よりも大きい。
イ 通学時間が20分未満の生徒は、1年生も3年生も半分以上いる。
ウ 通学時間が25分未満の生徒の人数は、1年生も3年生も同じである。
エ 通学時間が25分以上30分未満の生徒の人数は、3年生の方が1年生よりも多い。
オ 全体の傾向としては、1年生の方が3年生よりも通学時間が短いといえる。

解答・解説

(1)
① 7-(-6)=7+6=13

②15+(-4)²÷(-2)=15+16÷(-2)=15+(-8)=15-8=7

③(x+2)(x-5)-2(x-1)=(x²-5x+2x-10)-2x+2=x²-3x-10-2x+2=x²-5x-8

④√2×√6-√27=√12-3√3=2√3-3√3=-√3

(2) x+4y=5・・・①、4x+7y=-16・・・②とする。
①の両辺に4をかけると、 4x+16y=20・・・③
③-②で、 9y=36 ∴y=4
y=4を①に代入して、 x+16=5 ∴x=-11
よって、 x=-11,y=4

(3) 2次方程式の解の公式を使って、
x=(-b±√(b²-4ac))/2a=(-5±√(25-4))/2=(-5±√21)/2

(4) 条件より、-b>0のため、 a+b<a-b
また、 a+b<0, ab>0, a/b>0 なので、a+bが最小値となる。

(5) 相似の図形の体積比は相似比の3乗に等しくなるため、体積比は2³：3³=8：27
よって三角すいBの体積は 24×(27/8)=81(㎤)

(6)最終的に点Pが原点Oにあるためには、表が2回、裏が1回出る必要がある(出る順番は関係ない)。
よって、
1/2×1/2×1/2×3=3/8

(7) 省略。

(8) イ、エ、オ

大問2

問題文

太郎さんと花子さんは、ロボット掃除機が部屋を走行する様子を見て、動く図形について興味をもった。次の—内は、いろいろな図形の内部を円や正方形が動くとき、円や正方形が通過する部分について考えている、太郎さんと花子さんの会話である。

花子：長方形の内部を円や正方形が動くとき、正方形は、長方形の内部をくまなく通過できるね。でも、円は、長方形の内部で通過できないところがあるよ。正方形は、どんな図形の内部でもくまなく通過できるのかな。
太郎：どうかな。三角形の内部では、円も正方形も通過できないところがあるよ。いろいろな図形の内部を円や正方形が動く場合、通過できるところに違いがあるね。
花子：直角二等辺三角形の内部を円や正方形が動くときについて、真上から見た図をかいて考えてみよう。

XZ=YZ,∠XZY=90°の直角二等辺三角形XYZの内部を円Ｏ、正方形ABCDが動くとき、各問いに答えよ。ただし、円周率はπとする。

(1) 図1で、円Oは辺XY,YZに接しており、2点P、Qはその接点である。また、点Ｒは直線XOと辺YZとの交点である。①～③の各問いに答えよ。

①∠POQの大きさを求めよ。

②線分XR上にある点はどのような点か。「辺」と「距離」の語を用いて簡潔に説明せよ。

③円Oの半径が2㎝であるとき、線分XPの長さを求めよ。

(2) 次の—内は、△XYZの内部を、正方形ABCDが動く場合について考えている、太郎と花子さんの会話である。①、②の問いに答えよ。

①【 あ 】にあてはまる語句を、次のア～エから1つ選び、その記号を書け。
ア 正方形ABCDの対角線の長さ
イ 正方形ABCDの1辺の長さ
ウ 正方形ABCDの対角線の長さの半分
エ 正方形ABCDの1辺の長さの半分

②図3のように、正方形ABCDが、△XYZの内部をくまなく動くとき、正方形ABCDが通過した部分の面積を求めよ。ただし、XZ=10㎝、AB=3㎝とする。

解答・解説

(1)
①∠XPO=90°、∠XQO=90°、∠YXZ=45°なので、
∠POQ=360°-90°-90°-45°=135°・・・(A)

②2辺XY、XZからの距離が等しい点。

③直線OQとと線分XYの交点をSとする。
線分XOは∠SXQの二等分線なので、XS：XO=SO：QO
ここで、△XSQは直角二等辺三角形より、
XS：XQ=√2：1となるので、
SO：QO=√2：1
SO：2=√2：1 ∴SO=2√2(㎝)
よって、XP=XQ=SQ=2+2√2(㎝)・・・(A)

(2)
①イ

②(10×10×1/2) – (3²×π×45/360×2)
=50-9π/4(㎠)・・・(A)

大問3

問題文

図のように、関数y=ax²（a>0）のグラフ上に、2点A、Bがあり、関数y=(-½)x²のグラフ上に2点C、Dがある。
2点A、Ｃのx座標は-4であり、2点B、Dのx座標は2である。
2点A、Ｂを通る直線とy軸との交点をＥとする。原点をＯとして、各問いに答えよ。

(1) 関数y=(-½)x²について、xの変域が-4≦x≦2のときのyの変域を求めよ。

(2) 2点C、Dを通る直線の式を求めよ。

(3) aの値が大きくなるとき、それにともなって小さくなるものを、次のア～エから1つ選び、その記号を書け。
ア 直線ABの傾き
イ 線分ABの長さ
ウ △OABの面積
エ AE：EBの比の値

(4) 直線ODが四角形ACDBの面積を2等分するとき、aの値を求めよ。

解答・解説

(1)yはxが-4のとき最小値、xが0のとき最大値をとるので、それぞれ代入して
-8≦y≦0・・・(A)

(2)2点C、Dそれぞれの座標は、C(-4,-8) D(2,-2)となる。
よって求める式の傾きは 6/6=1
傾き1の直線がD(2,-2)を通るので、 y=x-4・・・(A)

(3)(-4,16a)、B(2,4a)となる。

ア (4a-16a)/(2-(-4))=-2a
イ √((2-(-4))²-(4a-16a)²)=√(36+144a²)
ウ 直線ABの式を、y=-2ax+bとすると、B(2,4a)を通るので、4a=-4a+b ∴b=8a
よって、E(0,8a)となるので、
△OAB=1/2×8a×(2-(-4))=24a
エ AE：EB=4：2=2：1

よって、答えはア

(4)直線ODと直線ACの交点をFとする。直線ODの式は、y=-xより、点Fの座標は(-4,4)となる。
四角形ACDBは台形なので、直線ODが面積を2等分するのは、AF+BD=FCとなるとき。
よって、
(16a-4)+(4a-(-2))=4-(-8)
20a=14 ∴a=7/10・・・(A)

大問4

問題文

図で、4点A,B,C,Dは円Oの周上にある。点Eは線分ACと線分BDとの交点でAC⊥BDであり、点Fは線分AD上の点で、EF⊥ADである。点Gは直線EFと線分BCとの交点である。各問いに答えよ。

(1) △AEF∽△BCEを照明せよ。

(2) ∠DAE=a°とするとき、∠BGEの大きさをaを用いて表せ。

(3) DE=3㎝、AE=4㎝、BE=8㎝のとき、①、②の問いに答えよ。
① △CEGの面積を求めよ。

② 円Oの半径を求めよ。

解答・解説

(1) △AEFと△BCEにおいて、仮定より、
∠AFE=90°・・・①
∠BEC=90°・・・②
①、②より、∠AFE=∠BEC・・・③
1つの弧に対する円周角は等しいので、 ∠EAF=∠CBE・・・④
③、④より、2組の角がそれぞれ等しいので、△AEF∽△BCE

(2) ∠CBE=∠DAE=a°より、
∠BCE=180°-90°-a°=90°-a°より、
∠GEC=∠AEF=90°-a°
よって、∠BGE=∠GCE+∠GEC=(90°-a°)+(90°-a°)=180°-2a°・・・(A)

(3)
① ∠BEG=180°-(180°-2a°)-a°=a°より、
∠GBE=∠GEB=a°となるので、GB=GE
また、∠GEC=∠GCE=90°-a°より、GC=GEとなるので、GB=GCとなる。
ここで、△BEC∽△AEDより、
CE：DE=BE：AE
CE：3=8：4
4CE=24
CE=6(㎝)
よって、△CEG=1/2×6×8×1/2=12(㎠)・・・(A)

② 図のように点Hをとると、△ABEにおいて、三平方の定理より、
AB²=8²+4²=80
AB>0より、 AB=4√5(㎝)
ここで、∠BHA=∠BDAより、△ABH∽△AEDとなるので、
BH：ED=AB：AE
BH：3=4√5：4
4BH=12√5 ∴BH=3√5(㎝)
△ABHにおいて、三平方の定理より、
AH²=(4√5)²+(3√5)²=125
AH>0より、AH=5√5(㎝)
よって、円Ｏの半径は、5√5/2(㎝)・・・(Ａ)

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