大阪府の2020年3月実施の令和2年度（2020年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

大阪府の数学問題は、レベル別にＡＢＣの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。
難易度は、Ａが易、Ｂがやや難、Ｃが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。

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【数学A】大問1：小問集合

問1：正負の数

問1：正負の数の計算をする問題です。
【・答え　ー１７】
－７－１０＝－１７

問2：正負の数

問2：正負の数の計算をする問題です。
【・答え　ー２/７】
÷〇　→　×１/〇　に変換する。
８/７÷（－４）＝８/７×（ー１/４）＝－２/７

問3：正負の数

問3：正負の数の計算をする問題です。
【・答え　１２】
３×（－２）²＝３×４＝１２

問4：文字と式

問4：文字と式の計算をする問題です。
【・答え　6ｘ-１１】
一旦バラした後、同じ文字・次数同士で計算する。
ｘ＋４＋５（ｘ－３）＝ｘ＋４＋５ｘ－１５＝６ｘ－１１

問5：文字と式

問5：文字と式の計算をする問題です。
【・答え　２ｘｙ²】
同じ文字同士のかけ算は次数を付けることで表す。
ｘｙ×２ｙ＝２ｘｙ²

問6：平方根

問6：平方根を含む式を計算する問題です。
【・答え　８√５】
平方根の中身を素因数分解して、根の値を合わせると計算できる。
√４５＋５√５＝３√５＋５√５＝８√５

大問2：小問集合

問1：式と代入

問1：ａ＝ー８のときの２ａ＋７を求める問題です。
【・答え　ー９】
ａにー８を代入する。
２×（－８）＋７＝－９

問2：正負の数

問2：表を読み、A市の気温がB市の気温より何℃高いかを求める問題です。
【・答え　５．９℃】
Ａ市は４．６℃、Ｂ市はー１．３℃である。４．６は０より４．６だけ大きい値であり、０は－１．３より１．３大きい値であるから、以下のように計算できる。
４．６＋１．３＝５．９
従って、A市はＢ市よりも５．９℃高い

問3：比例

問3：選択肢のうち、比例の関係であるものを選ぶ問題です。
【・答え　エ】
比例かどうかを見分けるためには、
・片方の値が増えたときに、もう一方の値が増えること　①
・もともとの値が０であること（ｘ＝０のときｙ＝０であること）　②
が両方満たされればよい。
ア：ビスケット０個の時点で３０ｇの重さがあるので、②を満たさない。
イ：早く進むほど（ｘの値が増えるほど）、かかる時間は短くなる（ｙの値が減る）ので、①を満たさない。
ウ：早く燃えるほど（ｘの値が増えるほど）、残りの線香の長さが短くなる（ｙの値が減る）ので、①を満たさない。
エ：①、②どちらも満たす。

問4：連立方程式

連立方程式　５ｘ＋ｙ＝２２　ｘ－ｙ＝ー４　についてｘとｙを解く問題です。
【・答え　ｘ＝３，ｙ＝７】
５ｘ＋ｙ＝２２を①、ｘ－ｙ＝－４を②とする。
②をｘ＝の形に変形すると、
ｘ＝ｙ－４
これを①に代入すると、
５ｘ＋ｙ＝２２　
→５（ｙ－４）＋ｙ＝２２
５ｙ－２０＋ｙ＝２２
６ｙ＝４２
ｙ＝７

ｙ＝７を②に代入すると、
ｘ－ｙ＝－４
→ｘ－７＝－４
ｘ＝３

問5：二次方程式

問5：二次方程式を解く問題です。
【・答え　ｘ＝ー５，ｘ＝２】
因数分解する。どのように分ければいいか分からない人は、－１０をいくつかのかけ算で表現する方法を考えるとよい。
それでも分からない人は解の公式を解ける。
ｘ²＋３ｘ－１０＝０
（ｘ＋５）（ｘ－２）＝０
ｘ＝－５,ｘ＝２

問6：確率

問6：二つのさいころの目の和が８になる確率を求める問題です。
【・答え　５/３６】
サイコロの目の和が８になるのは
（２,６）（３,５）（４,４）（５,３）（６,２）
の５通りである。一方、サイコロの目は全部で
６×６＝３６
の３６通りであるから、その確率は
５/３６となる。

問7：資料の読み取り

問7：選択肢のうち、資料から読み取れるものとして正しいものを選ぶ問題です。
【・答え　ウ】
冷静に資料を読み取れば、確実に得点できる問題である。
ア：１年生は1人、２年生は０人なので、この選択肢は誤り。
イ：１年生は６本～９本なので、範囲は４本である。２年生は５本～１０本なので、範囲は６本である。したがって、この選択肢は誤り。
ウ：１年生は少ない本数から数えていくと、５人目（中央値）は７本である。２年生は少ない本数から数えていくと、６人目（中央値）は７本である。したがって、この選択肢は正しい。
エ：１年生の最頻値は７本である。２年生の最頻値は８本である。したがって、この選択肢は誤り。

問8：二次関数

問8：二次関数について座標と変域を求める問題です。
【・答え　①：８　②㋐：0　㋑：９/２】
①ｙ＝ｘ²/２のグラフ上であり、ｘの値が－４のときのｙの値は、
ｙ＝ｘ²/２　→　ｙ＝（－４）²/２＝１６/２＝８
よって、ｙ＝８である。
②変域を求める。図を書くと一目瞭然である。
したがって、変域は　０≦ｙ≦８　である。

問9：展開図

問9：直方体の展開図について、平行面・体積を求める問題です。
【・答え　①：イ　②：５ａ²】
②：面かを底面とした直方体を考える。面かの一辺の長さはａｃｍなので、面積はａ×ａ＝ａ²ｃｍ²
面かを底面、辺ＡＢを高さとすると、直方体の体積は５×ａ²＝５ａ²ｃｍ³である。

大問3：一次関数

スライドショーで表示される写真の枚数と、スライドショー全体の時間について考える問題です。スライドショーのタイトルを４秒間表示し、その後1枚につき５秒間表示することにしたそうです。写真の枚数をｘ枚、スライドショーの時間をｙ秒としたとき、次の3問を解いていきます。

問1：一次関数

問1：ｘとｙの関係を表した表の空欄を埋める問題です。
【・答え　ア：２４　イ：３９】
ｘ＝４のときは、４枚分の時間（４×５＝２０秒）とタイトル（４秒）があるので、スライドショーの時間は
２０＋４＝２４（秒）である。
ｘ＝７のときは、７枚分の時間（７×５＝３５秒）とタイトル（４秒）があるので、スライドショーの時間は
３５＋４＝３９（秒）である。

問2：一次関数

問2：ｙをｘの式で表す問題です。
【・答え　５ｘ＋４】
問1より、スライドショーの時間は枚数に応じて増えていく時間と、枚数によらず変わらない（タイトルの）時間の足し合わせであるとわかる。したがって、
（スライドショーの時間）＝（写真の時間）×（写真の枚数）＋（タイトルの時間）
と表せる。これを文字式に置き換えると
ｙ＝５ｘ＋４
となる。

問3：一次関数

問3：ｙ＝８４となるときのｘの値を求める問題です。
【・答え　１６】
問2で求めた式にｙ＝８４を代入すれば求められる。
ｙ＝５ｘ＋４　→　８４＝５ｘ＋４
５ｘ＝８０
ｘ＝１６

大問4：平面図形

次のような図形があるとき、次の問いに答えていく大問です。

問1：対角線の長さ

問1：正方形ABCDの対角線ACの長さを求める問題です。
【・答え　９√２】
正方形の対角線は正方形の辺との比で簡単に求められる。
正方形の辺：正方形の対角線＝１：√２
より、正方形ＡＢＣＤの対角線の長さをｘ(ｃｍ)とすると
９：ｘ＝１：√２
ｘ＝９√２

問2：面積

問2：おうぎ形CDBの面積を求める問題です。
【・答え　８１π/４】
おうぎ形の面積は、円が欠けたものと考えれば簡単に求められる。
辺ＣＤ（辺ＣＢ）の長さは９(ｃｍ)であり、それを半径とした円の面積は（半径）²πで求められるので、
面積＝９²π＝８１πとなる。
問題のおうぎ形はその円の１/４（９０°/３６０°）の面積なので、
８１π/４(ｃｍ)

問3：証明

問3：問題中に示された「△CHB≡△EFC」の証明の空欄ⓐⓑに適している「辺・角を表す文字」をそれぞれ答える問題です。また、空欄Ⓒに適した選択肢を選ぶ問題です。
【・答え　ⓐ：CE　ⓑ：CEF　Ⓒ：イ】
ⓐ：△ＥＦＣのうち、辺ＣＥはおうぎ形の半径を構成している。
ⓑ：相似であることを利用して、∠ＢＣＨ＝∠ＣＥＦを導く。
Ⓒ：い　の条件で直角三角形を示し、あとう　の条件で斜辺と鋭角が対応していることを示している。

問4：平面図形

問4：EF＝７ｃｍであるときの線分ＧＦの長さを求める問題です。
【・答え　３１/７】
△ＣＨＢと△ＥＦＣの相似関係と、問３で示した△ＣＨＢと△ＥＦＣの合同関係を利用する。
最終的にはＧＦ＝ＥＦ－ＥＧで求める。

△ＣＨＢ≡△ＥＦＣより、ＥＦ＝ＣＨ＝７(ｃｍ)
ＥＨ＝ＣＥ－ＣＨなので、９－７＝２(ｃｍ)
△ＣＨＢ∽△ＥＦＣより、
ＣＨ：ＣＢ＝ＥＨ：ＥＧ
７：９＝２：ＥＧ
ＥＧ＝１８/７
とわかる。

これをＧＦ＝ＥＦ－ＥＧに代入すると、
ＧＦ＝７－１８/７＝（４９－１８）/７＝３１/７(ｃｍ)

【数学B】大問1：小問集合

問1：正負の数

問1：１８÷（ー６）＋（ー５）²を計算する問題です。
【・答え　２２】
累乗を計算　→　乗除を計算　→加減を計算する。
１８÷（－６）＋（－５）²
＝１８÷（－６）＋２５
＝－３＋２５
＝２２

問2：文字と式

問2：（ａー１）/２＋（ａ＋７）/４を計算する問題です。
【・答え　３ａ＋５/４】
分母を大きい方に揃えて、分子を計算する。
（ａー１）/２＋（ａ＋７）/４
＝２（ａー１）/４＋（ａ＋７）/４
＝（２ａー２＋ａ＋７）/４
＝３ａ＋５/４

問3：文字と式

問3：２ａ²÷ａｂ×（ー５ｂ²）を計算する問題です。
【・答え　ー１０ａｂ】
数字と文字をそれぞれ計算する。（÷〇　→　×１/〇に変換してもよい）
２ａ²÷ａｂ×（ー５ｂ²）
＝２ａ²×（１/ａｂ）×（－５ｂ²）
＝－１０ａｂ

問4：文字と式

問4：（ｘ＋２）²ーｘ（ｘ－３）を計算する問題です。
【・答え　７ｘ＋４】
一旦展開　→　文字と数をそれぞれまとめる。
（ｘ＋２）²ーｘ（ｘ－３）
＝ｘ²＋４ｘ＋４－ｘ²＋３ｘ　…ｘ²が消える
＝７ｘ＋４

問5：正負の数

問5：ａが０でないとき、その値の符号がつねにａの符号と同じであるものをすべて選ぶ問題です。
【・答え　エ，オ】
ア：符号が常に逆になるので、誤り。
イ：ａがー１のときａ＋２は１となり符号が逆になる。したがって、誤り。
ウ：ａが負の数の時、ａ²は正の値となる。したがって、誤り。
エ：正しい。
オ：正しい。

問6：平方根

問6：√１８９ｎ　（ｎは自然数）の値が自然数となるような最も小さいｎの値を求める問題です。
【・答え　２１】
平方根を素因数分解　→　対でないものをｎで対にすることで自然数となる。
１８９＝３³×７＝３²×２１
したがって、ｎ＝２１
（√１８９×２１＝√３⁴×７²＝６３）

問7：表の読み取り

問7：表中のｘの値を求める問題です。
【・答え　２．５】
（３．６＋４．０＋ｘ）/３
と求めるのは誤りである。(それぞれの平均の重みを考慮していない為)
全員が詠んだ本の冊数/全員の人数＝平均　であることに立ち戻る。
各学年の詠んだ本の冊数は（読んだ本の冊数の平均値）×（部員の人数）で求められるから、
１年生の読んだ本の冊数＝３．６×２０＝７２(冊)
２年生の読んだ本の冊数＝４．０×１２＝４８(冊)
３年生の読んだ本の冊数＝ｘ×８＝８ｘ(冊)

これを全部足したものが（全員が読んだ本の冊数）であるから、
７２＋４８＋８ｘ＝１２０＋８ｘ(冊)
となる。これを４０人で割ったときの平均が３．５冊となるので
（１２０＋８ｘ）/４０＝３．５
と立式できる、これを解くと
１２０＋８ｘ＝１４０
８ｘ＝２０
ｘ＝２．５(冊)

問8：確率

問8：2つのさいころＡ，Ｂを同時に投げた時の目をａ，ｂとしたときの１０ａ＋ｂの値が８の倍数である確率を求める問題です。
【・答え　５/３６】
ａとｂが６のときの１０ａ＋ｂの値は６６である。したがって、６６以下の８の倍数を考えると、
８，１６，２４，３２，４０，４８，５６，６４
があり、これを満たす通りを数えると５通りある。
一方、サイコロの出目は３６通りなので、確率は５/３６となる。

問9：二次関数

問9：次のグラフｙ＝ａｘ²（ａは正の定数）のａの値を求める問題です。
【・答え　３/１４】

方針

1. Ａの座標とＣの座標によってＢの座標を特定する。
2. Ｂの座標を通る二次関数が定まる。
3. ａを求める。

ＡとＣのｙ座標は同じなので、Ａのｙ座標はー６とわかる。
ｎ：ｙ＝－３ｘ²/８はＡの座標を通るので、ｙにー６を代入するとＡのｘ座標が求まる。
－６＝－３ｘ²/８
ｘ＝４、－４と求められる。問よりＡのｘ座標は負であるとあるので、ｘ＝－４
Ａの座標は（－４,－６）と分かる。

次に、原点とＡの座標を通る直線の式（…①）は
ｙ＝３ｘ/２
と分かる。この直線とＣのｘ座標（ｘ＝７）が交わる点がＢとなるので、①にｘ＝７を代入すると、
ｙ＝３×７/２＝２１/２
と分かるので、Ｂの座標は（７,２１/２）と分かる。

これをｍ：ｙ＝ａｘ²に代入する。
２１/２＝ａ×７²＝４９ａ
ａ＝２１/(２×４９)
ａ＝３/１４

大問2：一次関数

スライドショーで表示される写真の枚数と、スライドショー全体の時間について考える問題です。流す写真は「体育祭」と「文化祭」に分かれており、前半に体育祭の写真、後半に文化祭の写真が流れるようにするそうです。
【体育祭】スライドショーのタイトルを４秒間表示し、その後1枚につき５秒間表示する。
【文化祭】スライドショーのタイトルを４秒間表示し、その後1枚につき８秒間表示する。
これらの条件のもと、次の問いに答えていく大問です。

問1 ①：一次関数

問1 ①：ｘとｙの関係を表した表の空欄を埋める問題です。
【・答え　ア：２４　イ：３９】

ｘ＝４のときは、４枚分の時間（４×５＝２０秒）とタイトル（４秒）があるので、体育祭のスライドショーの時間は
２０＋４＝２４（秒）である。
ｘ＝７のときは、７枚分の時間（７×５＝３５秒）とタイトル（４秒）があるので、体育祭のスライドショーの時間は
３５＋４＝３９（秒）である。

問1 ②：一次関数

問1 ②：ｙをｘの式で表す問題です。
【・答え　５ｘ＋４】
問1 ①より、体育祭のスライドショーの時間は枚数に応じて増えていく時間と、枚数によらず変わらない（タイトルの）時間の足し合わせであるとわかる。したがって、
（スライドショーの時間）＝（写真の時間）×（写真の枚数）＋（タイトルの時間）
と表せる。これを文字式に置き換えると
ｙ＝５ｘ＋４
となる。

問1 ③：一次関数

問1 ③：ｙ＝８４となるときのｘの値を求める問題です。
【・答え　１６】

問1 ②で求めた式にｙ＝８４を代入すれば求められる。
ｙ＝５ｘ＋４　→　８４＝５ｘ＋４
５ｘ＝８０
ｘ＝１６

問2：連立方程式

問2：体育祭の写真の枚数をｓ，文化祭の写真の枚数をｔとし、その枚数の合計が５０枚、全体の時間が３００秒であるときのｓとｔの値を求める問題です。
【・答え　ｓ＝３６　ｔ＝１４】
２つの式を作り、連立させて解いていく。
１：体育祭と文化祭の写真の枚数が５０枚である。
２：体育祭のスライドショーの時間と文化祭のスライドショーの時間を３００秒である。
の2つが分かっているので、これらをそれぞれ立式する。

体育祭の写真の枚数（ｓ）＋文化祭の写真の枚数（ｔ）＝５０(枚)より
ｓ＋ｔ＝５０　…①

体育祭のスライドショーの時間＋文化祭のスライドショーの時間＝３００(秒)であり、
５ｓ＋４＋８ｔ＋４＝３００
５ｓ＋８ｔ＝２９２　…②

①と②を連立して解く。

①を変形して、
ｓ＝５０－ｔ
これを②に代入すると、
５（５０－ｔ）＋８ｔ＝２９２
２５０－５ｔ＋８ｔ＝２９２
３ｔ＝４２
ｔ＝１４

ｔ＝１４を①に代入すると、
ｓ＋１４＝５０
ｓ＝３６

大問3：平面図形

問1 ①：線分の長さ

問1 ①：線分BEの長さを求める問題です。
【・答え　３√３】
∠ＡＢＣ＝３０°、∠ＢＥＡ＝９０°ということは、線分ＡＢ：線分ＢＥ：線分ＡＥが２：√３：１であるとわかる（３０°６０°の角を持つ直角三角形の辺の比より）。
よって、ＡＢ：ＢＥ＝６：ＢＥ＝２：√３
ＢＥ＝３√３

問1 ②：弧の長さ

問1 ②：弧BDの長さを求める問題です。
【・答え　２π】
ＯＤに線を引く。
∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ＝３０°であるから、∠ＢＯＤ＝１２０°とわかる。
従って、円周×１/３（１２０°/３６０°）すればいいので、
円周×１/３＝６π×１/３＝２π
したがって、弧ＢＤの長さは２πである。

問2 ①：証明

問2 ①：△ABCと△BFGが相似であることを証明する問題です。
【・証明
△ABCと△BFGにおいて、
同じ弧に対する円周角は等しいから、∠ACB＝∠BGF　…①
ABとCGは平行であり、平行線の錯角は等しいから、∠ABC＝∠BCG　…②
同じ弧に対する円周角は等しいから、∠BFG＝∠BCG　…③
②、③より、∠ABC＝∠BGF　…④
①、④より、二組の核がそれぞれ等しいから、△ABCと△BFGは相似である。
】

問2 ② ㋐：線分の長さ

問2 ② ㋐：ＦＣ＝２ｃｍのときの線分ＢＧの長さを求める問題です。
【・答え　８√２/３】
問2 ①で証明した△ＡＢＣ∽△ＢＦＧより、ＡＣ：ＢＧ＝ＡＢ：ＢＦ（…(ⅰ)）が言えるので、ＡＣ、ＢＦを求めることでＢＧを導く。
△ＢＦＣは直角であり、△ＡＢＣは二等辺三角形なので、Ｆは線分ＡＣの中点であるとわかる。したがって、
ＡＣ＝ＦＣ×２＝４(ｃｍ)

ＢＦは三平方の定理で求められる。
ＡＦ＝２(ｃｍ)、ＡＢ＝６(ｃｍ)なので、
ＢＦ²＝ＡＢ²ーＡＦ²
ＢＦ²＝３６－４
ＢＦ²＝３２
ＢＦ＝４√２

(ⅰ)についてＢＧ以外が分かったので、求めていく。
４：ＢＧ＝６：４√２
６ＢＧ＝１６√２
ＢＧ＝８√２/３

問2 ② ㋑：面積

問2 ② ㋑：ＦＣ＝２ｃｍのときの△ＦＧＣの面積を求める問題です。
【・答え　２８√２/９】
（△ＦＣＧの面積）＝（△ＢＦＣの面積）＋（△ＢＧＣの面積）－（△ＢＦＧの面積）で求められる。

△ＢＦＣの面積＝ＢＦ×ＦＣ÷２＝４√２×２÷２＝４√２(ｃｍ²)
△ＢＧＣの面積＝ＢＧ×ＧＣ÷２
ＧＣは三平方の定理で求めることができるので、
ＧＣ²＝ＢＣ²ーＢＧ²

ＧＣ＝１４/３
よって、
△ＢＧＣの面積＝８√２/３×１4/３÷２＝５６√２/９(ｃｍ²)

△ＢＦＧの面積はＢＧ×高さ÷２で求められる。
（高さ）²＝ＢＦ²－（ＢＧ/２）²
＝（４√２）²－（４√２/３）²
＝３２－３２/９
＝２５６/９
高さ＝１６/３(ｃｍ)

より、△ＢＦＧの面積は
△ＢＦＧの面積＝８√２/３×１６/３÷２
＝６４√２/９(ｃｍ³)

最後にこれらを計算する。
（△ＦＣＧの面積）＝（△ＢＦＣの面積）＋（△ＢＧＣの面積）－（△ＢＦＧの面積）
＝４√２＋５６√２/９ー６４√２/９
＝２８√２/９(ｃｍ³)

大問4：立体図形

次のような図形があるとき、次の問いに答えていく大問です。

問1 ①：平行面

問1 ①：次の選択肢のうち、線分ＦＩと平行な面であるものを選ぶ問題です。
【・答え　ウ】
それぞれの選択肢を延長したときに、交わらないのは面ＢＣＤのみである。

問1 ②：線分の長さ

問1 ②：四角形EGHFの面積が１６ｃｍ²であるときのＡＩの長さ（ｘ）を求める問題です。
【・答え　５－√５】
四角形ＥＧＨＦの面積はＥＦ×ＦＨで求められる。
ＦＨ＝ＢＩであり、ＢＩ＝ＡＢ－ＡＩで求められるので、
ＦＨ＝１０－ｘ

△ＥＦＩと△ＣＤＢは相似の関係にあるので、ＥＦは
ＥＦ：ＡＩ＝ＣＤ：ＡＢより
ＥＦ：ｘ＝８：１０
ＥＦ＝４ｘ/５

四角形ＥＧＨＦの面積が１６(ｃｍ²)となるので、
（１０－ｘ）×４ｘ/５＝１６
これを変形して、
ｘ²－１０ｘ＋２０＝０
ｘについて解くと、
ｘ＝５－√５、５＋√５
設問より０＜ｘ＜５なので、
ｘ＝５－√５

問2 ①：線分の長さ

問2 ①：線分ＢＪの長さを求める問題です。
【・答え　３√５】
ＤＪの長さをｙとする。
△ＢＪＤについて、ＢＪ²を三平方の定理より解くと、
ＢＪ²＝ＢＤ²－ｙ²＝４９－ｙ²　…①
また、△ＢＪＣについて、ＢＪ²を三平方の定理より解くと、
ＢＪ²＝ＢＣ²－ＣＪ²＝ＢＣ²－（ＣＤ－ＤＪ）²＝８１－（８－ｙ）²　…②

①②について方程式を解くと、
４９－ｙ²＝８１－（８－ｙ）²
ｙ＝２

これを①に代入してＢＪを求めると、
ＢＪ²＝４９－４＝４５
ＢＪ＝３√５

問2 ②：体積

問2 ②：立体ＥＦＬーＣＤＫの体積を求める問題です。
【・答え　４９√５/２】
方針：立体Ａ－ＣＤＫから立体Ａ－ＥＦＬの体積を引
設問より、立体Ａ－ＣＤＫと立体Ａ－ＥＦＬは相似であり、その相似比はＡＣ：ＡＥ＝２：１より、
体積比は８：１であるとわかる。

立体Ａ－ＣＤＫの体積は立体Ａ－ＢＣＤからＫ－ＢＣＤを引くと求めれらる。
立体Ａ－ＢＣＤ＝ＡＢ×△ＢＣＤ×１/３＝ＡＢ×ＢＪ×ＣＤ×１/２×１/３
＝１０×３√５×８×１/６
＝４０√５
立体Ｋ－ＢＣＤ＝ＫＢ×△ＢＣＤ×１/３＝ＫＢ×ＢＪ×ＣＤ×１/２×１/３
＝３×３√５×８×１/６
＝１２√５

したがって、立体Ａ－ＣＤＫの体積は
４０√５－１２√５＝２８√５

求めたい立体ＥＦＬーＣＤＫの体積は、
立体Ａ－ＣＤＫ×７/８＝２８√５×７/８
=４９√５/２

【数学C】大問1：小問集合

問1：文字と式

問1：３ａ²ｂ/８÷９ａｂ²/４×（－３ｂ）²を計算する問題です。
【・答え　３ａｂ/２】
÷〇　→　×1/〇にする。
３ａ²ｂ/８÷９ａｂ²/４×（－３ｂ）²
＝３ａ²ｂ/８×４/（９ａｂ²）×９ｂ²
＝３ａ²ｂ×４×９ｂ²/８×９ａｂ²
＝３ａｂ/２

問2：平行根

問2：６－√１８/√２＋√２（１＋√３）（１－√３）を計算する問題です。
【・答え　ー３＋√２】
有理化・展開によって簡単な形にする　→　まとめる
６－√１８/√２を有理化

（６－√１８）×√２/√２×√２＝（６√２－６）/２＝３√２－３
√２（１＋√３）（１－√３）を展開
√２（１＋√３）（１－√３）＝√２（１－３）＝－２√２

６－√１８/√２＋√２（１＋√３）（１－√３）＝３√２－３－２√２＝－３＋√２

問3：二次方程式

問3：（ｘ－１）²－７（ｘ－１）－８＝０を解く問題です。
【・答え　ｘ＝０,９】
ｘ－１をＸとおいて解いていく。
Ｘ²－７Ｘ－８＝０
（Ｘ－８）（Ｘ＋１）＝０
Ｘ＝８,Ｘ＝－１

求めたいのはｘなので、
８＝ｘ－１
ｘ＝９

－１＝ｘ－１
ｘ＝０

問4：変化の割合

問4：ｙ＝ａ/ｘ（ａは定数）のｘが３から５まで増加するときの変化の割合が１であるときのａの値を求める問題です。
【・答え　－１５】
変化の割合とは（ｙの増加量）/（ｘの増加量）で求められる。
まずｙの増加量を求める。（ｘ＝５を代入したｙの値）ー（ｘ＝３を代入したｙの値）は
ａ/５－ａ/３＝ー２ａ/１５
となる。ｘの増加量は５－３＝２であるから、変化の割合は
－２ａ/１５÷２＝１
となればよい。ａについて解くと、
ａ＝－１５

問5：確率

問5：２つの箱に入っているカードに書かれた数によって３つの袋から玉を移動させる操作をする問題について、ある事象の確率を求める問題です。
【・答え　４/９】
Ｐから２、Ｑから１が出ると（それぞれ最小の値が引かれると）、ａ＝６,ｃ＝７となり、ａ<ｃが常に成立することが分かる。そこで、ａ＜ｂ、ｂ＜ｃとなる組み合わせを見つければよい。
調べると、（Ｐ、Ｑ）＝（２,３）、（３,３）、（４,３）、（４,４）、（４,５）
の５通りが上記の条件を満たす。
組み合わせは全部で９通り（Ｐに３枚×Ｑに３枚＝９）なので、求める確率は
５/９
となる。

問6：統計

問6：初めに求めた平均の合計と、一部の標本を除いた時の平均の差異から、初めに求めた平均を求める問題です。
【・答え　１０．６℃】
ここ２年を除いた８年の最高気温の平均値＝初めに求めた１０年の最近気温の平均値（ｘ）＋0.3
となるので、左辺を導出する。
まず、１０年の平均値の合計は（平均）×（年数）＝ｘ×１０＝１０ｘ
ここから２年を除くので、
１０ｘ－２．６－１６．２
これが８年分の最高気温の平均値であるから８で割ると、
１０ｘ－１８．８/８

最初の式を元に立式して解くと、
１０ｘ－１８．８/８＝ｘ＋０．３
１０ｘ－１８．８＝８ｘ＋２．４
２ｘ＝２１．２
ｘ＝１０．６(℃)

問7：整数

問7：「２０２０－ｎの値が９３の倍数」「ｎ－７８０の値が素数」を同時に満たす自然数ｎを求める問題です。
【・答え　８１１】
「２０２０－ｎの値が９３の倍数」は
２０２０－ｎ＝９３ｍ（ｍは自然数）
で表すことが出来る。これをｎについて整理すると、
ｎ＝２０２０－９３ｍ　…ⅰ
と表せる。
次に「ｎ－７８０の値が素数」を満たせばいいので、ⅰを代入すると、
ｎー７８０＝２０２０－９３ｍ－７８０＝１２４０－９３ｍ＝３１（４０－３ｍ）
となる。これが素数であるためには、（４０－３ｍ）が１である必要がある。
４０－３ｍ＝１
ｍ＝１３
と一つに決まるので、これをⅰに代入する。
ｎ＝２０２０－９３×１３＝８１１

問8：二次関数

問8：二次関数について、ａとｂの値をそれぞれ求める問題です。
【・答え　ａ：１１/４８　ｂ：１/６】
Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの座標を求める。
Ａの座標：
ｘ座標は４と分かっており、ｍの関数上にあるので、
ｙ＝ａ×１６＝１６ａ
したがって、Ａ（４,１６ａ）
とおける。

Ｂの座標：
ｘ座標はＣと同じであり、ｌの関数上にあるので、
ｙ＝－２ｂ＋
したがって、Ｂ（－２,－２ｂ＋４）

Ｄの座標：
ｘ座標はＡと同じであるから、ｘ＝４
Ｄはｎの関数上にあるので、
ｙ＝ｂ×４－３＝４ｂ－３
したがって、Ｄ（４,４ｂ－３）

Ｃの座標：
ｘ座標はＢと同じであり、ｙ座標はＤと同じである。
したがって、Ｃ（－２,４ｂ－３）
ＡとＢのｘ座標より、ＡＢの長さが６ｃｍであるから、
ＢＣの長さは
－２ｂ＋４－（４ｂ－３）＝－６ｂ＋７＝６
ｂ＝１/６
Ｂのｙ座標は
ー２×１/６＋４＝１１/３
となり、これはＡのｙ座標と同じなので、
１６ａ＝１１/３
ａ＝１１/４８

大問2：平面図形

問1：証明

問1：四角形ＥＡＣＦが平行四辺形であることを証明する問題です。
【・証明例
問題文より、ＥＦ//ＡＣ　…①
△ＡＢＤはＡＢ＝ＡＤの二等辺三角形だから、∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ　…②
ＡＢ//ＥＤであり、平行な２つの線の同位角は等しいから、∠ＥＤＦ＝∠ＡＢＤ　…③
①より、平行な２つの線の同位角は等しいから、∠ＥＦＤ＝∠ＡＤＢ　…④
②、③、④より、∠ＥＤＦ＝∠ＥＦＤであり、△ＥＤＦは二等辺三角形だから、ＥＦ＝ＥＤ　…⑤
△ＡＢＣ≡△ＤＡＥだから、ＣＡ＝ＥＤ　…⑥
⑤、⑥より、ＥＦ＝ＣＡ　…⑦
①、⑦より、一辺の対辺が平行かつ長さが等しいので、
四角形ＥＡＣＦは平行四辺形である。
】

問2 ①：辺の長さ

問2 ①：辺ＢＣの長さを求める問題です。
【・答え　４√３】
ＣＧの長さを求める　→　ＢＣの長さを求める

まずＣＧの長さを求める。ＡＣ＝６、ＡＧ＝２と分かっているので、ＣＧの長さは三平方の定理より、
ＣＧ²＋ＡＧ²＝ＡＣ²
ＣＧ²＝３６－４
ＣＧ＝４√２

次にＢＣの長さを求める。ＢＧの長さはＡＢ＋ＡＧ＝４よりＢＧ＝４とわかる。ＢＣの長さは三平方の定理より、
ＢＣ²＝ＢＧ²＋ＣＧ²
ＢＣ²＝１６＋３２＝４８
ＢＣ＝４√３

問2 ②：線分の長さ

問2 ②：線分ＥＨの長さを求める問題です。
【・答え　１４√３/５】
線分ＤＥと線分ＣＧの交点をＩとする。ＡＧ//ＥＤより、△ＡＧＨと△ＥＨＩが相似であることから、この相似比を求めることでＥＨを導出する。相似比を出すためにはＥＩの長さを導出する必要がある。

まず、△ＤＡＥ≡△ＡＢＣより、
ＡＥ＝ＢＣ＝４√３
ＣＤ＝ＣＡ－ＤＡ＝６－２＝４で求められる。
ＡＧ//ＤＩより△ＣＡＧ∽ＣＤＩとなるので、ＡＧ：ＡＣ＝ＤＩ：ＤＣの比が成り立つ。
これに代入してＤＩを求めると、
２：６＝ＤＩ：４
ＤＩ＝４/３
となる。ＥＩの長さはＥＤ－ＤＩで求められるので、
ＥＩ＝６－４/３＝１４/３

△ＡＧＨと△ＥＨＩの相似比はＡＧ：ＥＩ＝２：１４/３=６：１４＝３：７
であるから、ＥＨの長さは、
ＥＨ＝７/１０×ＡＥ＝７/１０×４√３＝１４√３/５ (ｃｍ)

問2 ③：面積

問2 ③：四角形ＥＨＣＦの面積を求める問題です。
【・答え　１０２√２/５】
△ＥＨＣ＋ＥＦＣの足し算として考える。
△ＤＥＡの面積の導出
①よりＣＧ＝４√２であるから、
△ＤＥＡ＝△ＡＢＣ＝ＡＢ×ＣＧ÷２＝２×４√２÷２＝４√２
△ＥＡＣの面積の導出
△ＤＥＡとＥＡＣの面積比はＡＤ：ＡＣで求められるから、
ＡＤ：ＡＣ＝２：６＝１：３
したがって、△ＥＡＣ＝３△ＤＥＡ＝１２√２
△ＥＦＣの面積の導出
△ＥＡＣと△ＥＦＣは平行四辺形ＥＡＣＦを対角線ＣＥで二分したものだから、面積は等しくなる。
したがって、△ＥＦＣ＝△ＥＡＣ＝１２√２
△ＥＨＣの面積の導出
△ＥＨＣとＥＡＣの面積比はＥＨ：ＥＡで求められるから、
ＥＨ：ＥＡ＝７：１０
したがって、△ＥＨＣ＝７/１０△ＥＡＣ＝４２√２/５

求める面積は、
△ＥＦＣ＋△ＥＨＣ＝１２√２＋４２√２/５＝６０√２＋４２√２/５＝１０２√２/５

大問3：立体図形

次の図について、各問題に答える大問です。

問1 ①：面積

問1 ①：△EJHの面積を求める問題です。
【・答え　６４/７(ｃｍ²)】

EJ+JIが最小となるとき、展開図上でJは線分EI上にあるので、△EJH＝1/2×HE×HJで求める。
GE//CAより、△EJH∽△IJDだから、HJ:DJ＝HE：DI＝4：3なので、HJ＝4/（4+3）HD＝4/7×8＝32/7（ｃｍ）
よって、△EJH＝1/2×4×32/7＝64/7（ｃｍ²）となる。

問1 ②：内角の大きさ

問1 ②：四角形ABIDの内角∠ＢＩＤの大きさを求める問題です。
【・答え　２ａ＋ｂ(°)】

面ABCDについて、△EKH≡△AODなので、∠AOD＝∠EKH＝ｂ°である。
平行線の同位角は等しいので、OD//BIより、∠ABI＝∠AOD＝ｂ°である。
四角形ANCDは平行四辺形だから、AN=DC=5ｃｍである。
よって、△ABNはAB=ANの二等辺三角形だから、∠ANB＝∠ABN＝a+b（°）である。
平行線の同位角は等しいので、AN//DCより、∠DCN＝∠ANB＝a+b（°）である。
三角形の1つの外角は、これととなりあわない2つの内角の和に等しいから、
△BICについて、∠BID＝∠IBC+∠ICB＝a+（a+b）＝2a+b（°）である。

問1 ③：線分の長さ

問1 ③：線分KFの長さを求める問題です。
【・答え　１５/４(ｃｍ)】

KF=OBなので、OBの長さを求める。
PD//BIより、PB：BC＝DI：IC＝3：（5-3）＝3：2なので、PB=3/2BC＝3/2×8＝12（ｃｍ）
AD//PCより、△AOD∽△BOPだから、OA：OB＝AD：BP＝4：12＝1：3
よって、OB＝3/（1+3）AB＝3/4×5＝15/4（ｃｍ）だから、KF=OB=15/4（ｃｍ）

問2 ①：線分の長さ

問2 ①：線分ＤＦの長さを求める問題です。
【・答え　１１(ｃｍ)】

上図のように、DからBCに対して垂線DQを引くと、DQは面FBCGに対して垂直なので∠DQF＝90°となる。
これより三平方の定理を利用して、DFの長さを求める。
四角形ABCDはAB=DCの台形なので、QC=（BC－AD）÷2＝（8－4）÷2＝2（ｃｍ）となる。
△CQDについて、DQ²＝DC²－QC²＝5²－2²＝21
BQ＝8－2＝6（ｃｍ）より、△BQFについて、FQ²＝FB²+BQ²＝8²＋6²＝100
△DFQについて、DF＝√（DQ²+FQ²）＝√21+100＝11（ｃｍ）

問2 ②：線分の長さ

問2 ②：線分ＡＭの長さを求める問題です。
【・答え　８√２１/１１(ｃｍ)】

AMは上図Ⅰの色付きの三角錐ADFLにおいて、面DFLを底面としたときの高さなので、
三角錐ADFLの体積＝1/3×△DFL×AMから、AMの方程式を立てる。
三角錐ADFLは底面を△ADLとすると、高さはFB=8ｃｍとなる。
DQ=√21ｃｍとなるから、△ADL＝1/2×AD×DQ＝1/2×4×√21＝2√21（ｃｍ²）である。
三角錐ADFLの体積は、1/3×2√21×8＝16√21/3（ｃｍ³）である。
△DFLについて上図Ⅱのように作図し、DR=ｘｃｍとする。
三平方の定理を用いて、RL²を2通りのｘの式で表し、ｘの方程式を作る。
EF//DL，EF//ABより、AB//DLであり、AD//BLだから、四角形ABLDは平行四辺形なので、DL=AB=5ｃｍである。
△DRLについて、RL²＝DL²－DR²＝25－ｘ²・・・①
BL＝AD＝4ｃｍより、△LFBについて、FL²＝FB²+BL²＝8²+4²＝80であり、FR=DF－DR＝11－ｘ（ｃｍ）だから、
△FRLについて、RL²＝FL²－FR²＝80－（11－ｘ）²＝－ｘ²+22ｘ－41・・・②
①、②より、RL²について、25－ｘ²＝－ｘ²+22ｘ－41となり、ｘ=3を得る。
よって、RL＝√25－3²＝4ｃｍだから、△DFL＝1/2×DF×RL＝1/2×11×4＝22（ｃｍ²）である。
したがって、三角錐ADFLの体積について、16√21/3＝1/3×22×AMより、AM＝8√21/11（ｃｍ）

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