【大阪府】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学の解説
大阪府の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大阪府の数学問題は、レベル別にＡＢＣの問題が用意されています。受験する学校によりどの問題を採用するかが異なります。
難易度は、Ａが易、Ｂがやや難、Ｃが難となっています。レベル差が顕著なので、各問題に対応する対策をとる必要があります。
【数学A】大問1
問1
－2－（－12）
【・答え 10】
－2＋12＝10
問2
27×（－5/9）
【・答え －15】
問3
40－7²
【・答え －9】
40－49＝－9
問4
ｘ－3＋6（ｘ＋1）
【・答え 7ｘ＋3】
一旦バラした後、同じ文字・次数同士で計算する。
ｘ－3＋6ｘ＋6＝7ｘ＋3
問5
48ｘ³÷8ｘ
【・答え 6ｘ²】
問6
√12＋9√3
【・答え 11√3】
平方根の中身を素因数分解して、根の値を合わせると計算できる。
2√3＋9√3＝11√3
大問2
問1
ａ＝ー6のときのー2ａ＋14を求める問題です。
【・答え 26】
ａにー6を代入する。
－2×（－6）＋14＝26
問2
ある日のA市の最低気温は、5.3℃であり、B市の最低気温は－0.4℃であった。この日のA市の最低気温はB市の最低気温より何℃高いですか。
【・答え 5.7℃】
5.3℃－（－0.4℃）＝5.7℃
問3
次のア～エの式のうち、「1袋につきa個のみかんが入った袋を3袋買ったとき、買ったみかんの個数の合計は20個より多い。」という数量の関係を正しく表しているものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。
ア a+3>20
イ 3a>20
ウ 3a<20
エ 3a=20
【・答え イ】
問4
連立方程式、7ｘ+ｙ＝19・・・①、5ｘ+ｙ＝11・・・②を解きなさい。
【・答え ｘ＝4，ｙ＝－9】
加減法で解けばよい。①－②をすると、
2ｘ＝8、よって、ｘ＝4を得る。これを、再度①に代入し、ｙ＝－9となる。
問5
二次方程式ｘ²－8ｘ＋15＝0
【・答え ｘ＝3，5】
ｘ²－8ｘ＋15＝0
（ｘ-3）（ｘ-5）＝0
ｘ＝3，5
問6
次の表は、生徒7人の上体起こしの記録を示したものである。この生徒7人の上体起こしの記録の中央値を求めなさい。
| Aさん | Bさん | Cさん | Dさん | Eさん | Fさん | Gさん | |
| 上体起こしの記録（回） | 30 | 28 | 27 | 32 | 26 | 27 | 31 |
【・答え 28】
中央値は小さい順に並び替えたときにちょうど中央にある数値のことなので、
26，27，27，28，30，31，32→28が中央値となります。
問7
二つの箱A,Bがある。箱Aには自然数の書いてある3枚のカード2⃣、3⃣、4⃣が入っており、箱Ｂには偶数の書いてある3枚のカード4⃣、6⃣、8⃣が入っている。Ａ，Ｂそれぞれの箱から同時にカードを1枚ずつ取り出すとき、取り出した2枚のカードに書いてある数の積が16である確率はいくらですか。Ａ，Ｂそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。
【・答え 2/9】
全通りは3×3＝9通り、このうち積が16になるのは（2，8）（4，4）の2通りなので、2/9が答えとなる。
問8
a,bを0でない定数とする。右図において、lは関数y=ax+bのグラフを表す。
次のア～エのうち、a,bについて述べた文として正しいものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。
ア：aは正の数であり、bも正の数である。
イ：aは正の数であり、bは負の数である。
ウ：aは負の数であり、bは正の数である。
エ：aは負の数であり、bも負の数である。
【・答え ウ】
傾きが右下がりなので、aは負の数。切片が原点よりも上なので、bは正の数だと分かる。
問9
図において、mは関数y=ax²（aは定数）のグラフを表す。Aはｍ上の点であり、その座標は（-6，7）である。aの値を求めなさい。
【・答え a=7/36】
点Ａの座標をｍに代入すればよい。
a×（－6）²＝7
a=7/36
問10
図において、立体ABC－DEFは三角柱である。△ABCは、∠ABC＝90°の直角三角形である。
△DEF≡△ABCであり、四角形ADEB,BEFC,ADFCは長方形である。AB=9cm,BC=4cm,AD=acmである。
①次のア～エのうち、辺ACと平行な辺はどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。
ア：辺AB イ：辺BE ウ：辺DE エ：辺DF
②立体ABC-DEFの体積をaを用いて表しなさい。
【・答え ①エ ②18a】
①辺ACと平行な辺は辺DFなので、エが正答。
②三角柱の面積は底面積×高さで求めることができるので
4×9÷2×a＝18a（ｃｍ³）
大問３
Fさんは、コーンが積まれているようすに興味を持ち、図のような模式図をかいて考えてみた。
図は1個の高さが320ｍｍのコーンを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンの個数」が1のとき「積んだコーンの高さ」は15ｍｍずつ高くなるものとする。
問１
Fさんは、「コーンの個数」と「積んだコーンの高さ」との関係について考えることにした。「コーンの個数」がxのときの「積んだコーンの高さ」をｙｍｍとする。
①次の表はｘとｙとの関係を示した表の一部である。表中の（ア）、（イ）に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。
| x | 1 | 2 | … | 4 | … | 8 | … |
| y | 320 | 335 | … | (ア) | … | (イ) | … |
②ｘを自然数として、ｙをｘの式で表しなさい。
【・答え ①（ア）365 （イ）425 ②ｙ＝15ｘ+305】
表より、一つ増えるごとに15ｍｍ増えることが分かる。
よって、ｙ＝15（ｘ－1）+320→ｙ＝15ｘ+305
問２
Fさんは、 積んだコーンの高さが620ｍｍとなるときのコーンの個数について考えることにした。
「コーンの個数」をtとする。「積んだコーンの高さ」が620ｍｍとなるときのtの値を求めなさい。
【・答え ｔ＝21】
問1、②の式にｘ＝ｔ、ｙ＝620を代入すればよい。
15（ｔ-1）+320＝620
15ｔ＝315
ｔ＝21
大問4
図において、四角形ABCDは長方形であり、AB＝6ｃｍ、ＡＤ＝12ｃｍである。Ｅは辺ＢＣ上にあって、Ｂ，Ｃと異なる点であり、ＢＥ＜ＥＣである。ＡとＥ、ＤとＥをそれぞれ結ぶ。四角形ＦＧＤＨは1辺の長さが5ｃｍの正方形であって、Ｇは線分ＥＤ上にあり、Ｆ，Ｈは直線ＡＤについてＧと反対側にある。Ｉは、辺ＦＧと辺ＡＤとの交点である。ＨとＩとを結ぶ。
問1
△ＡＢＥの内角∠ＢＥＡの大きさをa°とするとき、△ＡＢＥの内角∠ＢＡＥの大きさをa°を用いて表しなさい。
【・答え （90-a）°】
四角形ＡＢＣＤは長方形なので、∠ＡＢＥ＝90°。内角の和は180°なので、∠ＢＡＤ＝（90-a）°
問2
正方形ＦＧＤＨの対角線ＦＤの長さを求めなさい。
【・答え 5√2（ｃｍ）】
一辺の長さが5ｃｍの正方形なので、1：1：√2の三角形になるので、ＦＤ＝5√2（ｃｍ）
問3
次は、△ＤＥＣ∽△ＩＤＧであることの証明である。( a ),( b )に入れるのに適している「角を表す文字」をそれぞれ書きなさい。また、( c )に当てはまるものをア～ウの中から一つ選び、記号を○で囲みなさい。
【証明】
△ＤＥＣと△ＩＤＧにおいて
四角形ＡＢＣＤは長方形だから∠ＤＣＥ＝90°・・・①
四角形ＦＧＤＨは正方形だから∠ ( a )＝90°・・・②
①、②より、∠ＤＣＥ＝∠( a )・・・③
ＡＤ//ＢＣであり、平行線の錯角は等しいから
∠ＤＥＣ＝∠( b )・・・④
③、④より、
( c )がそれぞれ等しいから
△ＤＥＣ∽△ＩＤＧ
ア：1組の辺とその両端の角
イ：2組の辺の比とその間の角
ウ：2組の角
【・答え ( a )ＩＧＤ ( b )ＩＤＧ ( c )ウ】
問4
ＥＣ＝10ｃｍであるときの線分ＨＩの長さを求めなさい。答えを求める過程が分かるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。
【・答え 以下】
△ＤＥＣ∽△ＩＤＧより、
ＤＣ：ＩＧ＝ＥＣ：ＤＧ＝10：5＝2：1
よって、ＩＧ＝1/2ＤＣ＝1/2×6＝3（ｃｍ）
ＦＩ＝ＦＧ－ＩＧ＝5－3＝2 （ｃｍ）
△ＦＩＨで三平方の定理より、
ＨＩ²＝5²+2²＝29
ＨＩ＞0より、ＨＩ＝√29（ｃｍ）
0120-740-100
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【数学B】大問1
問1
18－（－4）²÷8
【・答え 16】
加減法から計算を行う。
18－16÷8
＝18－2＝16
問2
2（5a－b）－3（a＋6b）
【・答え 7a－20b 】
()を外してから計算する
10a-2b-3a-18b
=7a-20b
問3
14ab÷7a²×ab
【・答え 2b²】
数字と文字をそれぞれ計算する。（÷〇 → ×１/〇に変換してもよい）
14ab×（1/7a²）×ab
=2b²
問4
(x+1)(x-1)－(x+3)(x-8)
【・答え 5x+23】
一旦展開 → 文字と数をそれぞれまとめる。
x²－1－（x²－5x－24）
=5x+23
問5
(√6－√2)²＋√27
【・答え 8－√3】
6－4√3＋2＋3√3
=8－√3
大問2
問１
等式b＝(5a+4)/7をaについて解きなさい。
【・答え a=(7b-4)/5 】
7b=5a+4
5a=7b-4
a=(7b-4)/5
問2
二次方程式2ｘ²－3ｘ－1＝0を解きなさい。
【・答え x=（3±√17）/4】
解の公式を使えばよい。
x=3±√(3²－4×2×(-1))/2×2
=（3±√17）/4
問3
図は、ある中学校の図書委員12人それぞれが夏休みに読んだ本の冊数を、S先生が調べてグラフにまとめたものである。図書委員12人それぞれが夏休みに読んだ本の冊数の平均値をa冊、最頻値をb冊、中央値をc冊とする。次のア～カの式のうち、三つの値a,b,cの大小関係を正しく表しているものはどれですか。一つ選び、記号を○で囲みなさい。
ア a<b<c
イ a<c<b
ウ b<a<c
エ b<c<a
オ c<a<b
カ c<b<a
【・答え エ】
平均値 a＝4.5
最頻値b＝3
中央値c＝4
となるので、エが正答。
問4
二つの箱A,Bがある。箱Aには自然数の書いてある3枚のカード1⃣、2⃣、3⃣が入っており、箱Bには奇数の書いてある4枚のカード1⃣、3⃣、5⃣、7⃣が入っている。A,Bそれぞれの箱から同時にカードを1枚ずつ取り出すとき、取り出した2枚のカードに書いてある数の和が20の約数である確率はいくらですか。A,Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。
【・答え 5/12】
20の約数は1，2，4，5，10，20の6通りがある。この中で数の和がこれらになるときは、（1，1）（1，3）（3，1）（2，3）（3，7）の5通りである。全通りは3×4＝12通りとなるので、確率は5÷12＝5/12となる。
問5
連続する三つの整数の和が2022となるとき、この連続する三つの整数のうち最も小さい整数を答えなさい。
【・答え 673】
連続する三つの整数をn,(n+1),(n+2)とすると、n+(n+1)+(n+2)=2022となればよいので、
3n= 2019
n=673
問6
図において、3点A,B,Cは点Oを中心とする円の周上の異なる3点であり、3点A,B,Cを結んでできる△ABCは鋭角三角形である。OとCとを結ぶ。Dは、直線BOと線分ACとの交点である。
△ABCの内角∠CABの大きさをa°、△OCDの内角∠OCDの大きさをb°とするとき、△OCDの内角∠CDOの大きさをa、bを用いて表しなさい。
【・答え 2a－b°】
∠BOCは∠CABの円周角なので、2a°と分かる。さらに△ODCに注目すると、外角の大きさは隣接しない内角の和に等しくなるので、
∠CDO＝2a－b°と表すことができる。
問7
次の二つの条件を同時に満たす自然数nの値を求めなさい。
・4＜√n＜5である
・√6nの値は自然数である
【・答え n=24】
第一の条件を満たす自然数nは17,18,19,20,21,22,23,24の8通り。
第二の条件を満たすためには、因数分解した際に2×3×○²となるものであればよい。→6の倍数に絞られる。よって、18，24のどちらかである。それぞれを素因数分解すると、
18＝2×3²となるので不適。
24＝2³×3となり、2×3×2²と変形することが可能なので、自然数nは24だと分かる。
問8
図において、mは関数y=1/2x²のグラフを表し、nは関数y=ax²（aは負の定数）のグラフを表す。Aはm上の点であり、そのx座標は3である。Bは、Aを通りy軸に平行な直線とx軸との交点である。Cはx軸上の点であり、CB＝ABである。Cのx座標は、Bのx座標より小さい。DはCを通りy軸に平行な直線とmとの交点であり、EはCを通りy軸に平行な直線とnとの交点である。DE＝2ｃｍである。aの値を求めなさい。答えを求める過程がわかるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。ただし、原点Ｏから点（1，0）までの距離、原点Ｏから点（0，1）までの距離はそれぞれ1ｃｍであるとする。
【・答え 下記参照】
まず点Ａの座標から求める。Aのx座標は3なので、mの式に代入し、点A（3，9/2）が求まる。
次にCB＝ABより、点Cの座標を求めると、点Bのx座標－点Cのx座標＝9/2となるので、点C（－3/2,0）が求まる。
よって、m,nに代入すると、点Dと点Eの座標がそれぞれ求まり、点D（－3/2，9/8）、点E（－3/2,9a/4）となる。
そして、DE＝2ｃｍより、点Ｄのy座標－点Ｅのy座標＝2となるので、a＝－7/18となる。
大問3
Fさんは、大きさの異なる2種類のコーンがそれぞれ積まれているようすに興味を持ち、図Ⅰ、図Ⅱのような模式図をかいて考えてみた。
図Ⅰは、1個の高さが320ｍｍのコーンＡだけを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンＡの個数」が1のとき「積んだコーンＡの高さ」は320ｍｍであるとし、「コーンＡの個数」が1増えるごとに「積んだコーンＡの高さ」は15ｍｍずつ高くなるものとする。
図Ⅱは、1個の高さが150ｍｍのコーンＢだけを積んだときのようすを表す模式図である。「コーンＢの個数」が1のとき「積んだコーンＢの高さ」は150ｍｍであるとし、「コーンＢの個数」が1増えるごとに「積んだコーンＢの高さ」は10ｍｍずつ高くなるものとする。
問１
図Ⅰにおいて、「コーンAの個数」がｘのときの「積んだコーンＡの高さ」をyｍｍとする。
①次の表は、xとyとの関係を示した表の一部である。表中の（ア）、（イ）に当てはまる数をそれぞれ書きなさい。
| x | 1 | 2 | … | 4 | … | 8 | … |
| y | 320 | 335 | … | (ア) | … | (イ) | … |
②xを自然数として、yをxの式で表しなさい。
③y=620となるときのxの値を求めなさい。
【・答え ①（ア）365 （イ）425 ②ｙ＝15ｘ+305 ③ｘ＝21】
表より、一つ増えるごとに15ｍｍ増えることが分かる。
よって、ｙ＝15（ｘ－1）+320→ｙ＝15ｘ+305
さらにこの式に代入すると、15ｘ+305＝620→ｘ＝21
問２
FさんがコーンAを図Ⅰのように、コーンBを図Ⅱのようにそれぞれいくつか積んでいったところ、積んだコーンAの高さと積んだコーンBの高さが同じになった。「コーンAの個数」をsとし、「コーンBの個数」をtとする。「コーンAの個数」と「コーンBの個数」との合計が39であり、「積んだコーンAの高さ」と「積んだコーンBの高さ」とが同じであるとき、s,tの値をそれぞれ求めなさい。
【・答え ｓ＝9，t＝30】
下準備として、コーンBの式を問１のように求めると、ｙ＝10（ｘ-1）+150→ｙ＝10ｘ+140となる。
個数と高さに注目して、連立方程式を立てることができる。
個数に注目して
ｓ+ｔ＝39・・・①
高さに注目して
（15ｓ+305）＝（10ｔ+140）・・・②
これらを解くと、ｓ＝9，t＝30となる。
大問4
図Ⅰにおいて、四角形ABCDは内角∠ABCが鋭角の平行四辺形であり、AB＝7ｃｍ、ＡＤ＝6ｃｍである。Ｅｈａ、Ｃから辺ＡＢにひいた垂線と辺ＡＢとの交点である。Ｆは直線ＤＣ上にあってＤについてＣと反対側にある点であり、ＦＤ＝5ｃｍである。ＥとＦとを結ぶ。Ｇは、線分ＥＦと辺ＡＤとの交点である。Ｈは、Ｆから直線ＡＤにひいた垂線と直線ＡＤとの交点である。
問１
△ＢＣＥ∽△ＤＦＨであることを証明しなさい。
【・答え 下記参照】
△ＢＣＥと△ＤＦＨにおいて
∠ＢＥＣ＝∠ＤＨＦ＝90°・・・①
平行四辺形の向かい合う角の大きさは等しいので
∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ・・・②
対頂角は等しいので
∠ＨＤＦ＝∠ＡＤＣ・・・③
②、③より
∠ＥＢＣ＝∠ＨＤＦ・・・④
①、④より、2組の角の大きさがそれぞれ等しいので
△ＢＣＥ∽△ＤＦＨ
問２
ＤＨ＝2ｃｍであるとき、
①線分ＢＥの長さを求めなさい。
②△ＦＧＤの面積を求めなさい。
【・答え ①12/5ｃｍ ②25√21/16ｃｍ²】
①△ＢＣＥ∽△ＤＦＨより、対応する辺の比は等しくなるので
ＢＣ：ＤＦ＝ＢＥ：ＤＨ
6ｃｍ：5ｃｍ＝ＢＥ：2ｃｍ
ＢＥ＝12/5ｃｍ
②AE//FDより、△AEG∽△DFGだから、
AE＝7-12/5＝23/5で、GD＝ｘｃｍとすると、
AG:GD＝AE:DFより、（6-ｘ）：ｘ＝23/5：5
よって、ｘ＝25/8
△FDHで、三平方の定理より、FH²＝5²-2²＝21
FH＞0より、FH＝√21ｃｍ
したがって、△FGD＝1/2×25/8×√21＝25√21/16ｃｍ²
図Ⅱにおいて、立体ABCD-EFGHは四角柱である。四角形ABCDはAD//BCの台形であり、ＡＤ＝3ｃｍ、ＢＣ＝7ｃｍ、ＡＢ＝ＤＣ＝6ｃｍである。四角形ＥＦＧＨ≡四角形ＡＢＣＤである。四角形ＥＦＢＡ，ＨＥＡＤ，ＨＧＣＤ，ＧＦＢＣは長方形であり、ＥＡ＝9ｃｍである。Ｉは、辺ＡＢ上にあってＡ，Ｂと異なる点である。ＦとＩを結ぶ。Ｊは、Ｉを通り辺ＢＣに平行な直線と辺ＤＣとの交点である。ＦとＪ，ＢとＪとをそれぞれ結ぶ。
問３
次のア～オのうち、辺ＡＤとねじれの位置にある辺はどれですか。すべて選び、記号を○で囲みなさい。
ア：辺ＡＢ イ：辺ＢＣ ウ：辺ＥＦ エ：辺ＦＢ オ：辺ＦＧ
【・答え ウ、エ】
ねじれの位置は交わることがなく、並行でもない位置にあることである。
問４
ＡＩ＝2ｃｍであるとき、
①線分ＩＪの長さを求めなさい。
②立体ＩＦＢＪの体積を求めなさい。
【・答え ①ＩＪ＝13/3ｃｍ ②52√2/3ｃｍ³】
①図のように、4点P,Q,R,Sをとる。
BP=CQ=（7－3）÷2＝2ｃｍ
△ABP∽△AIRより、
AB：AI＝BP：IRだから、
6：2＝2：IRより、IR＝2/3ｃｍ
IR＝JSだから、IJ＝2/3×2+3＝13/3ｃｍ
②三平方の定理より、AP²＝6²-2²＝32
AP＞0より、AP＝√32＝4√2ｃｍ
よって、PR＝4√2×IB/AB＝4√2×4/6＝8√2/3ｃｍ
立体IFBJは、底面が△IBJ、高さがBFの三角錐だから体積は、
1/3×（1/2×13/3×8√2/3）×9＝52√2/3ｃｍ³
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【数学C】大問1
問１
(3a-b)/4－(a-2b)/6を計算しなさい。
【・答え (7a+b)/12】
分母を12に揃えて計算をすればよい。
問2
方程式ｘ-16ｙ+10＝5ｘ-14＝-8ｙを解きなさい。
【・答え ｘ＝2/3、ｙ＝4/3】
連立方程式として解けばよい。
問3
ｘ＝√15+√5、ｙ＝√15-√5のとき、ｘ²-ｙ²の値を求めなさい。
【・答え 20√3 】
ｘ²-ｙ²
＝（ｘ+ｙ）（ｘ-ｙ）
ここに代入し
＝2√15×2√5＝20√3
問4
a,bを0でない定数とする。右図において、lは二元一次方程式ax+by=1のグラフを表す。次のア～エのうち、a,bについて述べた文として正しいものを一つ選び、記号を○で囲みなさい。
ア：aは正の数であり、bも正の数である。
イ：aは正の数であり、bは負の数である。
ウ：aは負の数であり、bは正の数である。
エ：aは負の数であり、bも負の数である。
【・答え ウ】
式を変形するとy=-a/bx+1/bとなる。
切片が正になっていることからbは正の数だと分かる。
次にグラフが右上がりになっているので、傾きが正になることが分かるので、aは負の数だとわかる。
問5
二つの箱A,Bがある。箱Aには偶数の書いてある3枚のカード2⃣、4⃣、6⃣が入っており、箱Bには奇数の書いてある3枚のカード1⃣、3⃣、9⃣が入っている。箱Aからカードを2枚、箱Bからカードを1枚同時に取り出し、取り出した3枚のカードそれぞれに書いてある数のうち、最も小さい数をa、2番目に小さい数をb、最も大きい数をcとする。このときac/bの値が自然数である確率はいくらですか。A,Bそれぞれの箱において、どのカードが取り出されることも同様に確からしいものとして答えなさい。
【・答え 5/9】
得られる組み合わせは（2，4，1）（2，4，3）（2，4，9）（2，6，1）（2，6，3）（2，6，9）（4，6，1）（4，6，3）（4，6，9）の9通り。この中で、条件を満たすのは（2，4，1）（2，6，1）（2，6，3）（2，6，9）（4，6，9）の5通りなので、確率は5/9となる。
問6
Sさんは、サッカー部員32人とバレーボール部員20人の立ち幅跳びの記録をそれぞれ度数分布表にまとめ、度数および相対度数をそれぞれ比較した。215ｃｍ以上220ｃｍ未満の階級の度数を比較すると、サッカー部員32人の記録の度数はバレーボール部員20人の記録の度数より3人多かった。また、215ｃｍ以上220ｃｍ未満の階級の相対度数を比較すると、サッカー部員32人の記録の相対度数はバレーボール部員20人の記録の相対度数と同じであった。サッカー部員32人の記録における215ｃｍ以上220ｃｍ未満の階級の度数を求めなさい。
【・答え 8人】
求める度数をｘ人とすると、バレーボール部員20人の記録における215ｃｍ以上220ｃｍ未満の階級の度数は（ｘ-3）人だから、
ｘ/32＝（ｘ-3）/20より、ｘ＝8人
問7
ｍを2桁の自然数とする。ｍの十の位の数と一の位の数の和をｎとするとき、11ｎ-2ｍの値が50以上であって60以下であるｍの値をすべて求めなさい。
【・答え ｍ＝17，28，39】
ｘを1以上9以下の整数、ｙを0以上9以下の整数として、ｍ＝10ｘ+ｙとおくと、ｎ＝ｘ+ｙだから、
11ｎ-2ｍ＝11（ｘ+ｙ）-2（ｘ+ｙ）＝-9ｘ+9ｙ＝9（-ｘ+ｙ）
11ｎ-2ｍは9の倍数だから、11ｎ-2ｍ＝54
つまり、-ｘ+ｙ＝6であればよい。
（ｘ、ｙ）＝（1，7）（2，8）（3，9）であり、それぞれ、ｍ＝17，28，39となる。
問8
図において、ｍは関数ｙ＝1/3ｘ²のグラフを表し、ｌは関数ｙ＝1/3ｘ-1のグラフを表す。Ａ，Ｂはｍ上の点であって、Ａのｘ座標は正であり、Ｂのｘ座標は負である。Ａのｙ座標とＢのｙ座標とは等しい。Ａのｘ座標をｔとし、ｔ＞0とする。Ｃはｙ軸上の点であり、Ｃのｙ座標はＡのｙ座標と等しい。Ｄはｌ上の点であり、そのｘ座標は負である。Ｅはｙ軸上の点であり、Ｅのｙ座標はＤのｙ座標と等しい。4点Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｅを結んでできる四角形ＡＢＤＥは平行四辺形である。ＣＥ＝4ｃｍであるときのｔの値を求めなさい。答えを求める過程がわかるように、途中の式を含めた求め方も書くこと。ただし、原点Ｏから点（1，0）までの距離、原点Ｏから点（0，1）までの距離はそれぞれ1ｃｍであるとする。
【・答え 下記参照】
点Ａのｙ座標は1/3ｔ²だから、点Ｃのｙ座標は1/3ｔ²
点Ｂのｘ座標は、ＡＣ＝ＢＣより、-ｔだから、
ＡＢ＝ｔ-（-ｔ）＝2ｔｃｍ
ＡＢ＝ＥＤより、点Ｄのｘ座標は-2ｔだから、
ｙ座標は、1/3×（-2ｔ）-1＝-2/3ｔ-1
よって、点Ｅのｙ座標は、-2/3ｔ-1
ＣＥ＝4ｃｍより、1/3ｔ²-（-2/3ｔ-1）＝4
よって、ｔ＝-1±√10
ｔ＞0より、ｔ＝-1+√10
大問2
図において、△ABCは∠ABC＝90°の直角三角形であり、BA＝3ｃｍ、ＢＣ＞ＢＡである。点Ｏは、3点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円の中心である。このとき、Ｏは辺ＡＣの中点である。△ＤＥＣは∠ＤＥＣ＝90°、ＥＤ＝ＥＣの直角二等辺三角形であって、ＥＣ//ＡＢであり、Ｄは円Ｏの周上にあって直線ＡＣについてＢと反対側にある。Ｆは、辺ＥＤと円Ｏとの交点のうちＤと異なる点である。Ｇは、直線ＯＦと直線ＣＥとの交点である。
円周率をπとして、次の問いに答えなさい。
問１
AC=acmとするとき、円Oの面積を aを用いて表しなさい。
【・答え a²/4πｃｍ²】
ACは円Oの直径となるので、円Oの面積は（a/2）²×π＝a²/4πｃｍ²となる。
問２
△ABC∽△COGであることを証明しなさい。
【・答え 下記参照】
△ABCと△COGにおいて、
EC//ABより、∠BAC＝∠OCG・・・①
弧CFに対する円周角と中心角の関係から、∠COG＝∠CDF×2
さらに△DECは直角二等辺三角形なので、∠CDF＝45°、よって、∠COG＝90°
つまり、∠ABC＝∠COG・・・②
①、②より、2組の角がそれぞれ等しいから、
△ABC∽△COG
問３
BC＝5ｃｍであるとき、
①線分OGの長さを求めなさい。
②四角形OFECの面積を求めなさい。
【・答え ①5√34/6ｃｍ ②25/4ｃｍ²】
①三平方の定理より、AC＝√34ｃｍ
△ABC∽△COGで、相似比は、
AB:CO＝3：√34/2＝6：√34
よって、ＯＧ＝5×√34/6＝5√34/6ｃｍ
②ＣＧ＝√34×√34/6＝17/3ｃｍ
また、△ＡＢＣ∽△ＦＥＧだから、ＦＥ＝ｘｃｍとすると、
ＦＧ＝√34/3ｘで、ＯＦ+ＦＧ＝ＯＧより、
√34/2+√34/3ｘ＝5√34/6
よって、1/2+1/3ｘ＝5/6より、ｘ＝1
ＣＥ＝ＣＧ-ＥＧ＝17/3-5/3ｘ＝17/3-5/3＝4ｃｍより、
四角形ＯＦＥＣ＝△ＯＦＣ+△ＦＥＣ＝1/2×√34/2+1/2×1×4＝25/4ｃｍ²
大問3
図Ⅰ、図Ⅱにおいて、立体ABC-DEFは五つの平面で囲まれてできた立体である。△ABCは、AB＝AC、CB＝8ｃｍの二等辺三角形である。△ＤＥＦは、ＤＥ＝ＤＦ＝10ｃｍ、ＦＥ＝8ｃｍの二等辺三角形である。四角形ＡＤＥＢはＡＤ//ＢＥの台形であり、∠ＡＤＥ＝∠ＤＥＢ＝90°、ＡＤ＝3ｃｍ、ＢＥ＝5ｃｍである。四角形ＡＤＦＣ≡四角形ＡＤＥＢである。四角形ＣＦＥＢは長方形である。
問１
図Ⅰにおいて、Gは辺CB上の点であり、CG＝6ｃｍである。Ｈは、Ｇを通り辺ＡＣに平行な直線と辺ＡＢとの交点である。ＨとＤとを結ぶ。Ｉは、Ｂを通り線分ＤＨに平行な直線と辺ＤＥとの交点である。
①△ＤＥＦの面積を求めなさい。
②線分ＨＢの長さを求めなさい。
③線分ＤＩの長さを求めなさい。
【・答え ①8√21ｃｍ² ②√26/2ｃｍ ③5/3ｃｍ】
①辺ＥＦの中点をＰとすると、∠ＤＰＥ＝90°だから、三平方の定理より、
ＤＰ＝√10²-4²＝2√21ｃｍ
よって、△ＤＥＦ＝1/2×8×2√21＝8√21ｃｍ²
②点Ａから辺ＢＥに垂線ＡＱを引く。三平方の定理より、
ＡＢ＝√10²+2²＝2√26ｃｍ
ＡＣ//ＨＧより、ＢＡ：ＢＨ＝ＢＣ：ＢＧ＝8：（8-6）＝4：1
よって、ＨＢ＝ＡＢ×1/4＝2√26×1/4＝√26/2ｃｍ
③直線ＡＢとＤＥの交点をＲとすると、
△ＡＲＤ∽△ＢＡＱより、
ＲＤ：ＡＱ＝ＲＡ：ＡＢ＝ＡＤ：ＢＱ＝3：2だから、
ＲＤ＝10×3/2＝15ｃｍ
ＤＨ//ＩＢより、
ＲＤ：ＤＩ＝ＲＨ：ＨＢ＝（3+2×3/4）：（2×1/4）＝9：1
よって、15：ＤＩ＝9：1より、ＤＩ＝5/3ｃｍ
問２
図Ⅱにおいて、Jは辺DE上の点であり、DJ＝4ｃｍである。ＫはＪを通り辺ＡＤに平行な直線と辺ＡＢとの交点である。ＫとＥとを結ぶ。Ｌは、Ｋを通り辺ＣＢに平行な直線と辺ＡＣとの交点である。ＬとＦとを結ぶ。このとき、4点Ｌ，Ｆ，Ｅ，Ｋは同じ平面上にある。
①線分ＬＫの長さを求めなさい。
②立体ＫＥＢ－ＬＦＣの体積を求めなさい。
【・答え ①16/5ｃｍ ②96√21/5ｃｍ³】
①ＫＬ//ＢＣ、ＡＤ//ＫＪ//ＢＥより、
ＫＬ：ＢＣ＝ＡＫ：ＡＢ＝ＤＪ：ＤＥ＝4：10＝2：5
よって、ＫＬ：8＝2：5より、5×ＫＬ＝16
ＫＬ＝16/5ｃｍ
図のように、点S,T,U,Vをとると、求める体積は、三角柱KUV-LTSと2つの四角錐K-VUEB、L-CFTSの体積の和である。
CS＝VB＝（8-16/5）÷2＝12/5ｃｍ
辺BC、線分KLの中点をそれぞれM,Nとし、図のように点Wをとると、
WP＝2√21×（10-4）/10＝6√21/5ｃｍ
よって、
（1/2×5×6√21/5）×16/5+｛1/3×（5×12/5）×6√21/5｝×2
＝48√21/5+48√21/5＝96√21/5ｃｍ³
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