埼玉県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

大問1　小問集合

問題文

次の各問いに答えなさい。

（1）$7x-3x$を計算しなさい。

（2）$4 \times (-7) + 20$を計算しなさい。

（3）$30xy^2 \div 5x \div 3y$を計算しなさい。

（4）方程式$1.3x+0.6=0.5x+3$を解きなさい。

（5）$\frac{8}{\sqrt{2}}-3\sqrt{2}$を計算しなさい。

（6）$x^2-11x+30$を因数分解しなさい。

（7）連立方程式
$3x+5y=2$
$-2x+9y=11$
を解きなさい。

（8）2次方程式$3x^2-5x-1=0$を解きなさい。

（9）次のア～エの調査は、全数調査と標本調査のどちらでおこなわれますか。標本調査で行われるものを二つ選び、その記号を書きなさい。
ア　ある河川の水質調査
イ　ある学校でおこなう健康診断
ウ　テレビ番組の視聴率調査
エ　日本の人口を調べる国勢調査

（10）次の図において、曲線は$y=\frac{6}{x}$のグラフで、曲線上の2点A,Bのx座標はそれぞれ-6,2です。2点A,Bを通る直線の式を求めなさい。

（11）関数$y=2x^2$について、xの変域が$a \leqq x \leqq 1$のとき、yの変域は$0 \leqq y \leqq 18$となりました。このとき$a$の値を求めなさい。

（12）次の図のような$AD=5cm,BC=8cm,AD//BC$である台形ABCDがあります。辺ABの中点をEとし、Eから辺BCに平行な直線をひき、辺CDとの交点をFとするとき、線分EFの長さを求めなさい。

(13)100円硬貨1枚と、50円硬貨2枚を同時に投げるとき、表が出た硬貨の合計額が100円以上になる確率を求めなさい。
ただし、硬貨の表と裏の出方は同様に確からしいとします。

(14)半径7cmの球を、中心から4cmの距離にある平面で切ったとき、切り口の円の面積を求めなさい。

（15）次のア～エは、関数$y=ax^2$のグラフと、一次関数$y=bx+c$のグラフをコンピュータソフトを用いて表示したものです。ア～エのうち、a,b,cがすべて同符号であるものを一つ選び、その記号を書きなさい。

（16）次は、ある数学の【問題】について、AさんとBさんが会話している場面です。これを読んで、後の問いに答えなさい。

問　会話中のⅠにあてはまる、イが対応していない理由を、ヒストグラムの階級にふれながら説明しなさい。

解答・解説

（1）　$4x$

（2）　$-8$
$-28+20=-8$

（3）　$2y$

（4）　$x=3$
全体を10倍する。
$13x+6=5x+30$
$8x=24$
$x=3$

（5）　$\sqrt{2}$
分母の有理化を行う。
$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}$

（6）　$(x-5)(x-6)$
和が『$-11$』、積が『$30$』となるペアを見つける。

（7）　$x=-1,y=1$
上の式を2倍、下の式を3倍して加減法で解けばよい。

（8）　$x=\frac{5\pm\sqrt{37}}{6}$
解の公式を用いればよい。

（9）　ア、ウ
標本調査はある集団の中から一部の調査対象を選び出して調べること。

（10）　$y=\frac{1}{2}x+2$
まず点A,Bの座標を求めると
$A(-6,-1),B(2,3)$となる。
この2点を通る直線は$y=ax+b$に代入して、連立方程式を解くと求まり
$y=\frac{1}{2}x+2$となる。

（11）　$a=-3$
yの変域の最小値が0であることから、xの変域は原点をはさむことがわかる。
さらに、xの変域の最大値は1なので、xの変域が最小値の時にyの変域が最大値を取ることが分かるので
$2x^2=18$
$x^2=9$
$x=\pm3$
xの変域は原点をはさむことから、$a=-3$

（12）　$\frac{13}{2}cm$
点Dを通り、辺ABに平行な直線と線分EFとの交点をKとすると
$EF=EK+KF=5+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}$

（13）　$\frac{5}{8}$

（14）　$33πcm^2$

（15）　エ
ア：$a>0,b>0,c<0$
イ：$a>0,b<0,c>0$
ウ：$a<0,b>0,c>0$
エ：$a<0,b<0,c<0$

（16）　（例）ヒストグラムから読み取ることができる第3四分位数は、40分以上50分未満の階級に含まれているが、イの第3四分位数は50分以上60分未満で異なっている。

大問2　作図問題

問題文

次の各問いに答えなさい。

（2）2桁の自然数Xと、Xの十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる数Yについて、XとYの和は11の倍数になります。その理由を、文字式を使って説明しなさい。

解答・解説

（2）Xの十の位の数をa、一の位の数をbとすると
X：10a+b、Y：10b+aと表すことができる。
X+Y=(10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11(a+b)
となるので、11の倍数となることが分かる。

大問3　長文問題

問題文

次は、先生とAさん、Bさんの会話です。これを読んで、あとの各問いに答えなさい。

（1）【ア】【イ】にあてはまる数を求めなさい。

（2）$\frac{1}{7}$の値を小数で表したときの小数第50位の数を求めなさい。

解答・解説

（1）ア：6　イ：25
イは21～31の数の中で有限小数となるときの数字を探せばよい。

（2）4
$\frac{1}{7}$は『142857』と続く循環小数なので、
$50\div6=48あまり2$から、48番目の7、49番目の1、50番目の4と導ける。

大問4　図形問題

問題文

（1）IP+PGの長さが最も短くなるのは、点Pが頂点Bを出発してから何秒後か求めなさい。

（2）頂点Bを出発した後の点Pについて、△APCは二等辺三角形になることを証明しなさい。

（3）頂点Bを出発してから4秒後の点Pについて、3点I,P,Cを通る平面で直方体を切ったときにできる2つの立体のうち、体積の大きい方の立体の表面積を求めなさい。

解答・解説

（1）5秒後
IP+PGの長さが最も短くなるのは、I,P,Gが一直線上にあるとき、即ち△IEGが直角三角形になるときである。
このとき、IE=2cmより、PF=1cmとなるので、BP=5cmである。よって、5秒後が正解となる。

（2）下記参照
△ABPと△CBPにおいて、
BPは共通…①
仮定から、AB=CB…②
∠ABP=∠CBP…③
①～③から2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABP≡△CBP
したがって、PA=PCなので、△APCは二等辺三角形になる。

（3）$(80+16\sqrt{2})cm^2$
$4\times2,4\times4,4\times6,4\times4\sqrt{2}$の長方形が1つずつと、上底2、下底6、高さ4の台形が2つある。

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