滋賀県の2023年3月実施の令和5年度（2023年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。

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大問1

問題文

(1) 13+3×(-2)を計算しなさい。

(2) 13a-54aを計算しなさい。

(3) 次の等式を〔〕内の文字について解きなさい。
3x+7y=21

(4) 次の連立方程式を解きなさい。

2x+y=5x+3y=-1

(5) 9√3-√12を計算しなさい。

(6) 次の式を因数分解しなさい。
x²-2x-24

(7) 図の△ABCは、辺AB、BC、CAの長さがそれぞれ5、3、4の直角三角形です。この三角形を、直線lを軸として1回転させてできる回転体の体積を求めなさい。ただし、辺BCとlは垂直である。

(8) 下のデータは、ある生徒12人の先月読んだ本の冊数を調べ、冊数が少ない順に並べたものです。第3四分位数を求めなさい。
データ
【1 2 3 3 4 5 5 6 8 10 10 12】(冊)

(9) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、2枚以上裏となる確率を求めなさい。ただし、硬貨は、表と裏のどちらかが出ることも同様に確からしいとする。

解答・解説

(1) 13+3×(-2)=13-6=7

(2) 1/3a-5/4a=4/12a-15/12a=4-15/12a=-11/12a

(3)
3x+7y=21
3x=-7y+21
x=-7/3y+7

(4) 2x+y=5x+3y=-1
2x+y=-1・・・➀、5x+3y=-1・・・②
➀の両辺に3をかけて、 6x+3y=-3・・・③
③-②をして、 x=-2
x=-2を➀に代入して、
-4+y=-1
y=3
よって、x=-2、y=3

(5) 9/√3-√12=9√3/3-2√3=3√3-2√3=√3

(6)
x²-2x-24=0
(x+4)(x-6)=0

(7)
2/3×(3×3×π)×4=24π

(8) 8+10/2=9(冊)

(9) 4/2×2×2=48=12

大問2

問題文

紙でふたのない容器をつくるとき、次の(1)から(4)までの各問いに答えなさい。ただし、紙の厚さは考えないものとする。

(1) 図1は正三角形です。底面にあたる正三角形DEFの1辺の長さを10√2㎝、辺ADの長さを10㎝とする容器をつくります。図2の線分の長さを10㎝とするとき、底面にあたる正三角形DEFをコンパスと定規を使って作図しなさい。ただし、作図に使った線は消さないこと。

(2) 図3のような紙コップを参考に、容器をつくります。紙コップをひらいたら、図4のような展開図になります。図4において、側面にあたる辺ABと辺A’B’をそれぞれ延ばし、交わった点をOとすると、弧BB’、線分OB、線分OB’で囲まれる図形が中心角45°のおうぎ形になります。このとき、弧AA’の長さを求めなさい。

(3) 図5のような、長方形の紙があります。この紙の4すみから、図6のように1辺が、x㎝の正方形を切り取り、縦の長さを8㎝、横の長さを12㎝の長方形を底面とする図7のような直方体をつくります。図5の長方形の紙の面積と、図6の斜線部の長方形の面積の比が、2：1になるとき、xの長さを求めなさい。ただし、xの長さを求めるための方程式をつくり、答えを求めるまでの過程も書きなさい。

(4) 図8は容器の展開図です。辺AB、ICの長さはそれぞれ6㎝、12㎝とします。また、DC=DE=DG=DI=HF、GF=GH=、AI=HI=BC=FE、CG⊥HF、CG⊥IE、AB//ICとします。この展開図を組み立てたとき、辺ABとねじれの位置にある辺をすべて答えなさい。ただし、組み立てたときに重なる辺は、どちらか一方の辺を書くこととします。

解答・解説

(1) 省略

(2)
弧BB’の長さは図3の紙コップの底面の円の円周の長さと等しいから、
弧BB’=5π(㎝)
よって、
2×OB×π×45/360=5π
1/4OB=5
OB=20(㎝)
したがって、弧AA’の長さは
AA’=2π×(20+8)×45/360=2π×28×1/8=7π(㎝)・・・(A)

(3)
(図5の長方形の紙の面積)=(8+2x)×(12+2x)=4(x+4)(x+6)
(図6の斜線部の長方形の面積)=8×12=96
よって、
4(x+4)(x+6)：96=2：1
4(x+4)(x+6)=96×2
(x+4)(x+6)=48
x²+10x+24=48
x²+10x-24=0
(x+12)(x-2)=0
x=-12、2
ここで、x>0なので、x=2(㎝)・・・(A)

(4) 辺DI、DG、CD(ED)

大問3

問題文

yがxの2乗に比例する関数について考えます。図において、➀は関数y=2x²、②はy=-x²のグラフです。点Pはx軸上にあり、点Pのx座標をt(t>0)とします。点Pを通り、y軸に平行な直線と➀、②のグラフが交わる点を、それぞれA、Bとします。また、y軸について点Aと対称な点をCとします。次の(1)から(4)までの各問いに答えなさい。

(1) 関数y=-x²について、xの値が1から3まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

(2) 関数y=ax²のグラフが点(2,2)を通るとき、aの値を求めなさい。また、この関数のグラフをかきなさい。

(3) AB+ACの長さが1になるときのtの値を求めなさい。

(4) xの変域が-1≦x≦3のとき、関数y=2x²とy=bx+c(b<0)のyの変域が等しくなります。このとき、b、cの値を求めなさい。

解答・解説

(1) -9-(-1)/3-1=-8/2=-4

(2) グラフは省略
y=ax²に(2,2)を代入して、
2=4a
a=12

(3)
点Pのx座標がtのとき、点A、B、Cそれぞれの座標は
A(t,2t²)、B(t,-t²)、C(-t,2t²)
よって、
AB=2t²-(-t²)=3t²
AC=t-(-t)=2t
したがって、
AB+AC=3t²+2t
とあらわせて、この値が1になるので、
3t²+2t=1
3t²+2t-1=0
(3t-1)(t+1)=0
t=13,-1
条件より、t>0なので、t=1/3・・・(A)

(4)
xの変域が-1≦x≦3のとき、関数y=2x²の変域は、 0≦y≦18
b<0なので、y=bx+cはx=-1のとき最大値18、x=3のとき最小値0をとる。
よって、(x,y)=(-1,18)、(3,0)をそれぞれ代入すると、
18=-b+c・・・➀
0=3b+c・・・②
となる。②-➀をすると
4b=-18
b=-9/2
これはb<0に適する。b=-4を➀に代入して、
18=9/2+c
36=9+2c
2c=27
c=27/2
したがって、b=-9/2、c=27/2・・・(A)

大問4

問題文

∠C=90°の直角三角形ABCについて、次の(1)、(2)の各問いに答えなさい。

(1) 図1のように、∠Bの二等分線と辺ACの交点をDとするとき、BA：BC=AD：DCが成り立つことを証明します。図2のように、点Cを通り、DBに平行な直線と、辺ABを延長した直線との交点をEとします。図2を使って、BA：BC=AD：DCを証明しなさい。

(2) 直角三角形ABCの辺AB、CAの長さをそれぞれ10、5とします。次の➀、②の各問いに答えなさい。

➀図3のように、辺ABの垂直二等分線をひき、辺AB、BCとの交点をそれぞれM、Nとします。このとき、△ABCと△NBMの面積比を求めなさい。

②図4のように、直角三角形ABCを頂点Aを中心に90°回転させます。このとき、辺BCが通過したときにできる傾斜部の面積を求めなさい。

解答・解説

(1)
DB//CEより、平行線の同位角は等しいので、
∠ABD=BEC
平行線の錯角は等しいので、
∠DBC=∠BCE
仮定より、∠ABD=∠DBC
以上より、∠BEC=∠BCE
2つの角が等しい三角形は二等辺三角形なので、
△BCEは二等辺三角形で、BE=BC・・・➀
△AECで、DB//CEより、AB：BE=AD：DC・・・②
➀②より、BA：BC=AD：DC

(2)
➀
△ABCについて、三平方の定理より、
BC²=10²-5²=100-25=75
BC=5√3
△ABC∽△NBMで、その相似比は BC：BM=5√3：5=√3：1
よって、△ABCと△NBMの面積比は (√3)²：1²=3：1・・・(A)

②
おうぎ形ABB’の面積は、 AB²×π×90/360=10²×π×1/4=25π
おうぎ形ACC’の面積は、 AC²×π×90/360=5²×π×1/4=25/4π
求める斜線部の面積は、 (おうぎ形ABB’+△AB’C)’-(おうぎ形ACC’+△ABC)
ここで、△AB’C’=△ABCより、求める面積は、
おうぎ形ABB’-おうぎ形ACC’=25π-25/4π=75/4π・・・(Ａ)

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