【徳島県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学
徳島県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の（1）～（10）に答えなさい。
（1）-7-(-3)を計算しなさい。
（2）15×(5x-2y)/6を計算しなさい。
（3）a<√30となる自然数aのうち、最も大きいものを求めなさい。
（4）二次方程式3x²-36=0を解きなさい。
（5）1個aｇのゼリー6個を、bｇの箱に入れたときの全体の重さは800ｇ未満であった。この数量の関係を不等式で表しなさい。
（6）yはxに反比例し、x=4のときy=5/4である。xとyの関係を式に表しなさい。
（7）次の表は、クイズ大会に参加した11人の得点である。この表をもとにして、箱ひげ図を書くと、次の図のようになった。a,bの値をそれぞれ求めなさい。
表
13,7,19,10,5,11,14,20,7,8,16
（8）次の図のように、平行な3つの直線l,m,nがある。xの値を求めなさい。
（9）1から6までの目が出る大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が素数になる確率を求めなさい。ただし、それぞれのさいころについて、どの目が出ることも同様に確からしいものとする。
（10）次の図のように、直線lと直線l上の点A、直線l上にない点Bがある。点Aで直線lに接し、点Bを通る円の中心Oを、定規とコンパスの両方を使って次の図に作図しなさい。ただし、作図に使った線は消さずに残しておくこと。また、定規やコンパスを持っていない場合は、作図の方法を文章で書きなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 -4】
（2） 【正答 15x-6y】
（3） 【正答 5】
（4） 【正答 x =±2√3】
（5） 【正答 6a+b<800】
（6） 【正答 y=5/x】
（7） 【正答 a=7,b=16】
（8） 【正答 x=6】
（9） 【正答 5/12】
（10） 【正答 下記参照】
【解説】
（1） （与式）=-7+3=-4
（2） （与式）=3×(5x-2y)=15x-6y
（3） √5²<√30<√6²より5<√30<6であるから、求める自然数は5
（4） 3x²=36 x²=12 x=±√12 x=±2√3
（6） a=4×5/4=5 したがって、y=5/x
（7） 11人の得点を小さい方から順に並べると「7,7,8,10,11,13,14,16,19,20」。図のa,bはそれぞれ第1四分位数と第3四分位数を表しているから、a=7,b=16である。
（8） 平行線と比の性質から、8:(20-8)=x:9 2:3=x:9 よって、x=6である。
（9） 和が素数になるのは次の15通り。(1,1)(1,2)(2,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)(5,6)(6,5)。したがって求める確率は15/36=5/12
（10） 以下に文章記述
①点Aを中心とする円を書き、直線lとの2交点をそれぞれ中心として、等しい半径の円をかく。この2円の交点とAを通る直線をひく。
②点A,Bをそれぞれ中心として、等しい半径の円をかき、この2円の交点を通る直線をひく。
③①、②でひいた2直線の交点が中心Oである。
大問2
問題文
かずきさんとみさきさんは、厚紙を切って、3種類の図形A,B,Cをたくさん作っている。図形Aは正方形、図形Bは1辺の長さが図形Aの1辺の長さと等しく、他方の辺の長さが1ｃｍの長方形、図形Cは1辺の長さが1ｃｍの正方形である。（1）、（2）に答えなさい。
（1）厚紙は、赤、青、白、黄、緑の5色ある。この5色から3色を選ぶとき、その選び方は全部で何通りあるか、求めなさい。
（2）2人は、図形A,B,Cを何枚か組み合わせて、重ならないようにすきまなくしきつめ、いろいろな四角形をつくろうと考えている。図形Aの1辺の長さをxｃｍとして、(a)～(c)に答えなさい。
(a)図形Aを1枚、図形Bを3枚、図形Cを2枚の合計6枚を組み合わせると、1つの長方形をつくることができる。x=3のとき、この長方形の2辺の長さは、それぞれ何ｃｍか、求めなさい。
(b)かずきさんは、図形Aを1枚、図形Bを6枚、図形Cを8枚の合計15枚を組み合わせて、1つの長方形をつくった。この長方形の周の長さをxを用いて表しなさい。
(c)みさきさんは、図形A,B,Cを何枚か組み合わせて、1辺の長さが(x+7)ｃｍの正方形を1つつくった。この正方形の面積は、図形Aを1枚、図形Bを6枚、図形Cを8枚の合計15枚を組み合わせてかずきさんが作った1つの長方形の面積より105ｃｍ²大きかった。このとき、xの値を求めなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 10通り】
（2）(a) 【正答 4ｃｍ、5ｃｍ】
（2）(b) 【正答 (4x+12)ｃｍ】
（2）(c) 【正答 x=8】
【解説】
（1） 求める場合の数は選ばない2色を選ぶ場合の数と等しいので、10通り。
（2）(a) 求める長方形は次の図のようになる。したがって、x=3のとき、縦4ｃｍ、横5ｃｍ
（2）(b) A,B,Cの図形の面積はそれぞれx²ｃｍ²、xｃｍ²、1ｃｍ²。よって、長方形の面積はx²+6x+8と表せる。x²+6x+8=(x+2)(x+4)であるから、求める長方形の周の長さは、2(x+2)+2(x+4)=4x+12（ｃｍ）
（2）(c) みさきさんのつくった正方形の面積は(x+7)²ｃｍ²、かずきさんのつくった長方形の面積は(x²+6x+8)ｃｍ²であるから、xについての方程式(x+7)²=(x²+6x+8)+105を解いて、x=8
大問3
問題文
高校生のあおいさんは、部活動でおそろいのTシャツをつくることになり、どの会社に注文するかについて、まことさんと相談している。次は、2人の会話の一部である。（1）、（2）に答えなさい。ただし、消費税は考えないものとする。
【会話の一部】
（1）【会話の一部】の（ア）・（ウ）にあてはまる数を、（イ）にはあてはまる式を、それぞれ書きなさい。
（2）相談した結果、あおいさんたちはB社に注文しようと考えていたが、インターネットでC社を見つけた。下の表2は、C社の料金についてまとめたものである。(a)・(b)に答えなさい。
(a)C社に25枚注文するときの代金を求めなさい。
(b)まことさんは、何枚以上注文するとC社の方がB社より代金が安くなるかについて、次のように説明した。図2には、B社のグラフがかかれている。C社のグラフを考え、【まことさんの説明】の（エ）・（オ）にあてはまる言葉を、（カ）・（キ）にはあてはまる数をそれぞれ書きなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 ア：13000 イ：1500x+3500 ウ：35/3】
（2）（a） 【正答 39000円】
（2）（b） 【正答 エ：平行 オ：上 カ：30 キ：31】
【解説】
（1）ア 基本料金7000円とTシャツ代4000円、プリント代2000円で合計7000+4000+2000＝13000（円）
（1）イ y＝3500+900x+600xより、y＝1500x+3500
（1）ウ B社についてxとyの関係を式に表すとy=1200x+7000だから、連立方程式y=1500x+3500…①、y=1200x+7000…②を解くと、1500x+3500=1200x+7000 x=35/3
（2）（a） 基本料金11,000円とTシャツ代(800×25)円、プリント代(400×20)円の合計は11000+20000+8000=39000（円）
（2）（b） グラフは下図のようになる。
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大問4
問題文
次の図のように、関数y=ax²(a>0)のグラフ上に2点A,Bがあり、点Aのｘ座標は-4、点Bのｘ座標は2である。また、直線ABとｙ軸との交点をCとする。（1）～（3）に答えなさい。
（1）点Aのｙ座標が6のとき、点Oを回転の中心として、点Aを点対称移動した点の座標を求めなさい。
（2）a=1/2のとき、線分ABの長さを求めなさい。
（3）a=1のとき、(a)・(b)に答えなさい。
(a)△OABの面積を求めなさい。
(b)線分ACの中点をPとし、点Qを関数y=ax²のグラフ上にとる。△OABと△OPQの面積が等しくなるときの点Qのｘ座標を求めなさい。ただし、点Qのｘ座標は正とする。
解答
【解答】
（1） 【正答 （4，-6）】
（2） 【正答 6√2】
（3）（a） 【正答 24】
（3）（b） 【正答 -3+√33】
【解説】
（1） A（-4，6）より、求める座標は（-(-4),-6）＝（4，-6）
（2） 放物線の式はy=1/2x²となるから、点A,Bの座標はそれぞれA（-4，8）、B（2，2）となる。よって、AB＝√｛2-（-4）｝²+（8-2）²＝√36+36＝6√2
（3）（a） 放物線の式はy=x²となるから、点A,Bの座標はそれぞれA（-4，16）、B（2，4）となる。よって、直線ABの式は、y=-2x+8であるから、点Cの座標はC（0，8）となる。△OAB＝△AOC+△BOC＝1/2×8×4+1/2×8×2＝24
（3）（b） 点Pの座標は（-4+0/2，16+8/2）＝（-2，12）また△OAB＝△OPRとなるようにｙ軸上に点Rをとり、ｙ座標を正とすると、R（0，24）となる。求める点Qは、Rを通り直線OP：y=-6xに平行な直線y=-6x+24と放物線y=x²との交点であるから、x²=-6x+24を整理して、x²+6x-24=0 したがって、x=-3±√33 x>0より、点Qのｘ座標はx=-3+√33
大問5
問題文
図1、図2のように、AB＝4ｃｍ、AB<ADである長方形ABCDを、ある線分を折り目として折り返したものがある。（1）、（2）に答えなさい。
（1）図1のように、長方形ABCDを、辺CD上の点Eと頂点Bを結んだ直線BEを折り目として、頂点Cが辺AD上にくるように折り返したとき、頂点Cが移る点をFとする。(a)・(b)に答えなさい。
(a)∠ABF＝50°のとき、∠BEFの大きさを求めなさい。
(b)DE:EC=7:9のとき、線分EFの長さを求めなさい。
（2）図2のように、長方形ABCDを、対角線BDを折り目として折り返したとき、頂点Cが移る点をP、辺ADと線分BPとの交点をQとする。(a)・(b)に答えなさい。
(a)△ABQ≡△PDQを証明しなさい。
(b)対角線BDの中点をR、線分ARと線分BPとの交点をSとする。AD＝12ｃｍのとき、四角形RDPSの面積は△BRSの面積の何倍か、求めなさい。
解答
【解答】
（1）(a) 【正答 70度】
（1）(b) 【正答 9/4ｃｍ】
（2）(a) 【正答 下記参照】
（2）(b) 【正答 21/5倍】
【解説】
（1）(a) ∠FBE＝1/2∠FBC＝1/2（90°-∠ABF）＝20° ∠BEF＝180°-（90°+∠FBE）＝70°
（1）(b) EF＝xｃｍとすると、EF＝EC＝xｃｍ DE:EC＝7:9より、（4-ｘ）：ｘ＝7：9 ｘ＝9/4
（2）(a)
△ABQと△PDQで、四角形ABCDは長方形であり、対角線BDで折り返しているから、
AB＝PD…① ∠BAQ＝∠DPQ…②
対頂角は等しいので、∠AQB＝∠PQD…③
三角形の内角の和が180°であることと②、③より、
∠ABQ＝∠PDQ…④
①、②、④から、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから、△ABQ≡△PDQ
（2）(b) AQ＝xｃｍとすると、QD＝QB＝（12-x）ｃｍと表せる。△ABQについて三平方の定理より、4²+ｘ²＝（12-ｘ）² これを解いて、x＝16/3 よって、AQ＝16/3ｃｍ、QD＝20/3ｃｍとなる。これより、△AQP∽△DQBで相似比は4：5となるから、AP：BD＝4：5 また、点RはBDの中点であるからBD：BR＝2：1
これらより AP：BR＝8：5で、△ASP∽△RSBであるから、AS：RS＝8：5となる。したがって、△BRS＝5/13△ABR＝5/13×（1/4×4×12）＝60/13（ｃｍ²）
また、四角形RDPS＝△BDP-△BRS＝（1/2×4×12）-60/13＝252/13（ｃｍ²）
よって、四角形RDPS：△BRS＝252/13：60/13＝21：5であるから、四角形RDPSは△BRSの21/5倍である。
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