【山口県】令和4年度/2022年度入学者高校入試選抜試験：数学
山口県の2022年3月実施の令和4年度（2022年度）入学者の公立高校入試問題の解説をしています。
受験勉強において、過去問を解くことはとても効果的な勉強法です。ぜひ、受験までに一度挑戦し、問題の傾向を掴んでおきましょう。合わせて、対策などをたてられるととても良いですね。
また、過去問で苦手な点が見つかった場合は、そこを中心に試験日当日までにしっかりと対策しておきましょう。
大問1
問題文
次の（1）～（5）に答えなさい。
（1） 8-（-5） を計算しなさい。
（2）2/5÷（-1/10）を計算しなさい。
（3）（-4a）²×3b を計算しなさい。
（4）（6x+y）-（9x+7y） を計算しなさい。
（5）（a+3）（a-3）を計算しなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 13】
（2） 【正答 -4】
（3） 【正答 48a²b】
（4） 【正答 -3x-6y】
（5） 【正答 a²-9】
【解説】
（1） 8-（-5）＝8+5＝13
（2） 2/5÷（-1/10）＝-2/5×10＝-4
（3） （-4a）²×3b＝16a²×3b＝48a²b
（4） （6x+y）-（9x+7y）＝6x+y-9x-7y＝-3x-6y
（5） （a+3）（a-3）＝a²-9
大問2
問題文
次の（1）～（4）に答えなさい。
（1） 直方体の形をした水槽があり、水槽の底から7ｃｍの高さまで水が入っている。この水槽に、毎分3ｃｍずつ水面が上がるように水を入れる。水を入れ始めてからｘ分後の水槽の底から水面までの高さをｙcmとしたとき、水槽が満水になるまでのｘとｙの関係について、ｙをｘの式で表しなさい。ただし、ｘの変域はかかなくてもよい。
（2） 次の表は、山口県の19市町別の人口密度（1km²あたりの人数）を度数分布表にまとめたものである。
19市町の中央値が含まれている階級を、次のア～エから1つ選び、記号で答えなさい。
ア 100人以上200人未満
イ 200人以上300人未満
ウ 300人以上400人未満
エ 400人以上500人未満
（3） 次の条件①と条件②の両方を満たす数を答えなさい。
条件① 4より大きく5より小さい無理数である
条件② 2乗すると18より小さい整数となる
（4） 次の図のような平行四辺形ABCDで、辺CD上にあり、頂点C,Dと重ならない点をE,線分ACと線分DEの交点をFとする。
このとき、△ABCと面積の等しい三角形を、次のア～エから1つ選び、記号で答えなさい。
ア △ACE
イ △BCE
ウ △ABE
エ △BCF
解答
【解答】
（1） 【正答 y=3x+7】
（2） 【正答 イ】
（3） 【正答 √17】
（4） 【正答 ウ】
【解説】
（1） はじめに水面の高さが7cmあり、そこから毎分3cmずつ水面が上がっていくので、変化の割合は3である。
（2） 中央値は人口密度の低い方から10番目となるので、中央値の属する階級は、200人以上300人未満。
（3） 求める数をnとすると、条件①より、√16＜n＜√25、この中で条件②n²＜18を満たすのは、n=√17のみ。
（4） AB//CDより、△ABCと△ABEは共に底辺をABとすると、その高さも等しいことから面積も等しくなる。
大問3
問題文
SさんとTさんは、インターネットを利用する機会が増えたので、データ量や通信料に興味をもった。次の（1）、（2）に答えなさい。
（1） Sさんのタブレット端末には、1枚3MBの静止画がa枚、1本80MBの動画がb本保存されており、それらのデータ量の合計は500MBよりも小さかった。この数量の関係を不等式で表しなさい。なお、MBとは、情報の量を表す単位である。
（2） SさんとTさんはそれぞれ、アプリケーションソフトウェア（以下、「アプリ」）PとQを使用したときの、インターネット通信料を調べた。下の表はその結果である。アプリP,Qはどちらも、使用時間と通信料が比例することが分かっている。
このとき、アプリPの1分間当たりの通信料をxMB、アプリQの1分間あたりの通信料をyMBとして連立方程式を作り、アプリP,Qの1分間あたりの通信料をそれぞれ求めなさい。なお、MBとは、情報の量を表す単位である。
解答
【解答】
（1） 【正答 3a+80b＜500】
（2） 【正答 式：20x+10y=198、5x+30y=66 アプリP：9.6MB アプリQ：0.6MB】
大問4
問題文
空間図形について、次の（1）、（2）に答えなさい。
（1） 図1のような直径ABが6cmの半円がある。線分ABを軸としてこの半円を1回転してできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率はπとする。
（2） 図2は1辺の長さが1ｍである立方体である。この立方体を、ある3つの頂点を通る平面で切り取ると、立体Ｘと立体Ｙができる。図3は立体Ｘの投影図である。
立体Ｘの体積をＶ、立体Ｙの体積をＶ’としたとき、体積の比Ｖ：Ｖ’を、次のア～エから1つ選び、記号で答えなさい。
ア Ｖ：Ｖ’＝1：1
イ Ｖ：Ｖ’＝3：1
ウ Ｖ：Ｖ’＝5：1
エ Ｖ：Ｖ’＝7：1
解答
【解答】
（1） 【正答 36πcm³】
（2） 【正答 ウ】
【解説】
（1） 半径3ｃｍなので、4π×3³/3＝36π（cm³）
（2） 立体Ｙの体積Ｖ’＝1×1×1/2×1×1/3＝1/6（ｍ³）、立体Ｘの体積Ｖ＝1－Ｖ’＝5/6（ｍ³）
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大問5
問題文
AさんとBさんは花壇に花の苗を植える計画を立てた。次の（1）（2）に答えなさい。
（1） 買ってきた花の苗を5人で植えると、1人あたり70個変えることになる。買ってきた花の苗をa人で植えると、1人あたり何個植えることになるか。aを使った式で表しなさい。
（2） AさんとBさんは、買ってきた花の苗の一部を使って図1のように、花の苗を三角形の辺上に同じ数ずつ植えることにした。例えば、花の苗を三角形の辺上に4個ずつ植えると、図2のようになる。ただし、●は花の苗を表す。
Aさんは、三角形の辺上にn個ずつ植えるときの、苗の合計を次のように考えた。
一方で、Bさんは別の考え方で、｛3（n-2）+3｝個と考えた。Bさんの考え方について、Aさんの考え方に習って、●を囲んだうえで説明しなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 350/a個】
（2） 【正答 下図参照】
大問6
問題文
大小2個のさいころについて、次の操作を行うとき、次の（1）、（2）に答えなさい。ただし、この大小2個のさいころは、どの目が出ることも同様に確からしいものとする。
操作
大小2個のさいころを同時に1回投げて、出た目の数の和を記録する。
（1）下の表は、操作を10回繰り返したときの記録Aと50回繰り返したときの記録Bを整理したものである。また、説明は、表をもとに記録Aと記録Bの散らばり度合いについてまとめたものである。
| 目の数の和 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 10回くりかえしたときの記録A | 0 | ||||||||||
| 50回くりかえしたときの記録B |
説明
記録Aの四分位範囲は（ア）、記録Bの四分位範囲は5である。記録Aと記録Bの四分位範囲を比較すると、記録（イ）の方が散らばりの度合いが大きい。
説明 が正しいものとなるように、（ア）には、あてはまる数を求め、（イ）には、A、Bのうち適切な記号を答えなさい。
（2） 操作を多数回繰り返していくと、目の数の和が6，7，8になる回数が他よりも多くなっていくことが分かっている。大小2個のさいころを同時に1回投げたとき、目の数の和が6以上8以下になる確率を求めなさい。ただし、答えを求めるまでの過程も書きなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 ア：3 イ：B】
（2） 【正答 下記参照】
（例）大小2個のさいころを投げたときの出る目は全部で36通りある。そのうち、和が6以上8以下になる目の出方は
（大、小）＝（1，5）（1，6）（2，4）（2，5）（2，6）（3，3）（3，4）（3，5）（4，2）（4，3）（4，4）（5，1）（5，2）（5，3）（6，1）（6，2）の16通りなので、求める確率は16/36＝4/9
【解説】
（1） 記録Aは、第1四分位数が6、第3四分位数が9なので、四分位範囲は9-6＝3、記録Bの四分位範囲は5なので、四分位範囲が大きい方がデータの散らばりが大きいといえる。
大問7
問題文
関数y=ax²について、次の（1）（2）に答えなさい。
（1） 関数y=x²について、xの値が1から2まで増加したときの変化の割合は3である。xの値が-3から-1まで増加したときの変化の割合を求めなさい。
（2） 図のように、関数y=x²のグラフ上にx座標が2となる点Aをとる。またa>0である関数y=ax²のグラフ上にx座標が-3となる点Bをとる。△OABの面積が8となるとき、aの値を求めなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 -4】
（2） 【正答 a=2/9】
【解説】
（1） ｘ＝-3のときｙ＝9、ｘ＝-1のときｙ＝1なので、変化の割合は1-9/-1-（-3）＝-4
（2） 直線ABとｙ軸との交点をＤとする。△OABの面積が8となるとき、OD×｛2-（-3）｝×1/2＝8、OD＝16/5となり、D（0,16/5）となる。よって、2点A,Dの座標から直線ABの傾きは、（4-16/5）÷（2-0）＝2/5とわかるので、直線ABの式はy=2/5x+16/5、これにB（-3,9a）を代入すると、a=2/9
大問8
問題文
三角形に関連して、次の（1）（2）に答えなさい。
（1） 図1のように、∠ABC＝70°、∠ACB＝30°である△ABCがある。辺AC上に点D、辺BC上に点Eをとり、∠BDE＝55°、∠BED＝90°であるような直角三角形BEDをつくりたい。このとき、点Eを定規とコンパスを使って作図しなさい。ただし、作図に用いた線は消さないこと。
（2） 図2のような△があり、∠ABCの二等分線と辺ACの交点をPとする。また、線分BPの延長上にあり、CP＝CQとなる点Qをとる。
このとき、BA:BC＝AP:CPであることを証明しなさい。
解答
【解答】
（1） 【正答 下図参照】
（2） 【正答 下記参照】
大問9
問題文
ある中学校では、体育祭の準備を行っている。次の（1）～（3）に答えなさい。
（1） Sさんは、倉庫にある玉入れ用の玉の中に、使える玉が何個かあるか確認することにした。そこで、無作為に抽出した20個の玉を調べると、そのうち15個が使える玉であった。
玉が全部で413個あることが分かっているとき、使える玉はおよそ何個と推定されるか。小数第1位を四捨五入した概数で答えなさい。
（2） Tさんのクラスでは、ダンスの隊形について話し合っている。ダンスは運動場に用意された縦18ｍ、横22ｍの長方形の形をした区域の中で踊ることになっている。
図1は、Tさんが考えた隊形を示しており、長方形の対角線の交点を中心とした半径7ｍの円Ｏと、4つの同じ大きさの円A,B,C,Dを表したものである。円A,B,C,Dは、円Oより小さく、長方形の隣り合う2辺と円Oに接している。
円A,B,C,Dの半径をxｍとしたとき、xの値を求めなさい。
（3） Uさんは、運動場に200ｍ走のトラックをつくることになった。そこで、陸上競技用のトラックの作り方について調べ、以下のように作るようにした。
トラックの作り方
① 半径がrｍの2つの半円と、縦の長さが2rｍ、横の長さがbｍの長方形を組み合わせる。
② ①の図形の外側に、幅が1ｍの4つのレーンをつくり、内側から第1レーン、第2レーン、第3レーン、第4レーンとする。
③ 各レーンのゴール位置は同じライン上とし、トラックを走る距離を各レーンすべて200ｍにする。そのため、第1レーンのスタート位置に対し、第2レーン、第3レーン、第4レーンのスタート位置をそれぞれ前方にずらす。
図2はトラックの作り方をもとに つくったイメージ図である。第1レーン、第4レーンのスタート位置の最も内側の点を、それぞれA,Bとする。①の2つの半円のうち、ゴール位置のある方の半円の中心を点Cとする。
実際にトラックを作るために、Uさんは図2を使ってクラスメイトに下のように説明した。この説明が正しいものとなるように（ア）、（イ）にあてはまる数を求めなさい。また（ア）については、答えを求めるまでの過程も書きなさい。ただし、円周率はπとする。
各レーンで走る距離は、各レーンの内側にある線の長さを測るものとする。第4レーンのスタート位置は、第1レーンのスタート位置より（ア）ｍだけ前方にずらす必要がある。r=21としてつくると、∠ACBの大きさは（イ）度となる。
解答
【解答】
（1） 【正答 およそ310個】
（2） 【正答 ｘ＝3】
（3） 【正答 ア：下記参照 イ：45度】
【解説】
（1） 413×15/20＝1239/4＝309.7…となり、およそ310個。
（2） 直角三角形ABCをつくり三平方の定理を利用する。AB＝18-2ｘ、BC＝22-2ｘ、AC＝14+2ｘより、（14+2ｘ）²＝（18-2ｘ）²+（22-2ｘ）²、ｘ＜7より、ｘ＝3
（3）ア 第1レーンの1周のながさは（2πr+2b）ｍであり、第4レーンの1周の長さは｛（2r+6）π+2b｝ｍとなる。その距離の差は｛（2r+6）π+2b｝-（2πr+2b）＝6π（ｍ）より、第4レーンの方が6πｍだけ長いので、走る距離を同じにするためには、第4レーンのスタート位置は第1レーンのスタート位置より6πｍだけ前方にずらす必要がある。
（3）イ r=21なら、第4レーンの曲線部分の半円の半径が24で、半円の弧の長さは24π。このうち6πだけスタート位置が前にいくので、∠ACB＝180°×6/24＝45°
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