【数学】数の集合と素数の数
これまでに「負の数」と「自然数」という新しい概念の数を学んできました。
ここで一度振り返って数の集合について考えて見たいと思います。
ここでは、数の集合と、正負の数の利用、素因数分解をまとめていきます。
それではやっていきましょう！
目次
1.数の集合
それでは今までやってきた数についておさらいしてみましょう。
- 自然数・・・正の整数のこと。（例）1、2、3
- 負の数・・・0より小さい数のこと。（例）-2、-3.5、-3/5
- 小数・・・小数点を用いた数のこと。（例）0.4、1.2、5.6
- 分数・・・分母と分子を用いた数のこと。（例）1/2、5/7、1/4
- 整数・・・小数や分数でない数のこと。（例）0、1、-2
これらを全てまとめて数の集合と呼びます。
それではそれぞれを加減乗除した時の結果を以下にまとめます。意外と大事な内容なのでチェックしておいてください。
| 加法 | 減法 | 乗法 | 除法 | |
|---|---|---|---|---|
| 自然数の集合 | 〇 | × | 〇 | × |
| 整数の集合 | 〇 | 〇 | 〇 | × |
| 数の集合 | 〇 | 〇 | 〇 | 〇 |
×になるケースはどんな時か考えて見ましょう。
（1）自然数同士の減法
＋２－（＋４）＝－２となり、自然数ではなくなる。
（2）自然数同士の除法
＋２÷（＋３）＝２／３となり、自然数ではなくなる。
（3）整数同士の除法
＋２÷（－３）＝－２／３となり、自然数ではなくなる。
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2.正負の数の利用
例題
表は生徒5人のテストの得点とその得点の基準との差を正負の数で表してある。
（1）基準は何点か求めよ。
（2）表の空欄①～③にはいる数字を答えよ。
（3）生徒5人の平均点を求めよ。
| 生徒 | A | B | C | D | E |
| 得点 | 63 | 45 | ① | 74 | 58 |
| 基準との差 | ② | -15 | +8 | +14 | ③ |
解説
（1）BかDに注目。
Bは45点で基準との差が-15なので15点低いことが分かる。
そのため、基準点は４５－（－１５）＝６０となるので、基準点は６０点となる。
確かめの為、Dに注目すると７４－（＋１４）＝６０となるので、確認できる。
（2）①基準との差を見ると+8なので基準点よりも8点高いことが分かる。
そのため、６０＋（＋８）＝６８となるので、①は６８である。
②得点を見ると63となっているので基準点と比べればよい。
そのため、６３－６０＝３となるので、②は＋３である。
③得点を見ると58となっているので基準点と比べればよい。
そのため、５８－６０＝－２となるので、③は－２である。
（3）平均＝合計÷個数の公式を使う。
通常ならば、（63+45+68+74+58）÷5を計算するが、正負の数を使うと簡単に答えを導くことが出来る。
平均＝合計÷個数の代わりに平均＝（基準との差の合計÷個数）+基準の値で表現できる。
すなわち、下線部の計算の代わりに以下のようになる。
｛（+3-15+8+14-2）÷5｝+60
上記を計算すると、61.6が答えとなる。
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3.素因数分解
ここでは新しい概念の「素数」を学んでいきたいと思います。これからの数学の色々な場面で使っていきます。
素数・・・それ以上割ることができない自然数のこと
⇛1とその数でしか割れない数。※1は素数に含まない
素因数分解・・・自然数を素数の積で表すこと。
例題
以下の数を素因数分解せよ。
（1）12
（2）88
（3）720
解説
解き方はたくさんありますが、ここでは九九などなるべく分かりやすい計算から分解していく方法で解いてみます。（^は上付き文字を表します。）
（1）12＝3×4＝3×2×2＝3×2^2
（2）88＝8×11＝2×4×11＝2×2×2×11＝2^3×11
（3）720＝8×9×10＝2×4×3×3×2×5＝2×2×2×3×3×2×5＝2^4×3^2×5
この記事を書いた人
趣味：お城巡り
関西大学大学院を卒業後、小６・中３・高３の受験生を主に指導をしてきました。学生の悩み相談を受けているうちに勉強に悩む子を救ってあげたいという気持ちが強まり学習アドバイザーとなりました。勉強に悩む保護者さまやお子さんにお役に立てる記事を配信していければと思います。
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