こちらのページでは平方根について解説しています。平方根とはなにか、また平方根にまつわる問題を紹介＆解説しています。授業の予習復習や定期テスト対策にご活用ください！

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1.平方根とは？

例題＞ 次の平方根を答えなさい。

(1) 25/9

答え：±5/3・・・分数の場合も整数と同様、2乗になる前の分子と分母を考えます。

(2) 0.16

答え：±0.4・・・小数点の位置に注意しましょう。

(3) 13

答え：±√13・・・二乗する前の数が整数ではない時に√を使います。

2.√(ルート)の大小

√の大小関係を数直線上に表すと次のようになります。

では、上の数直線を踏まえて、－4 と－√15 はどちらが大きいか考えてみましょう。

－４を平方根にする(√をつける)と、－√16 になります。上の数直線からも分かるように、０より小さい世界では数字の小さい方が数は大きいので、－√16 ＜ －√15 となります。よって、－4と－√15 は－√15の方が大きいということになります。

応用問題＞ 4 ＜√a＜5 にあてはまるような自然数 aの組み合わせを答えましょう。

答え：17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24

解説：まずこの問題は、４と５を√の状態に変えてから考えます。４と５を√に直すとそれぞれ √16, √25になります。よって元の式は、√16 ＜ √a ＜ √25 となります。次に気を付けなければならないのが不等号の種類です。この問題にある不等号 ＜ ,＞は、超過・未満の意味です。（≦,≧は、以上・以下の意味です。）つまり、aには16と25を含めることはできません。よってaは16と25の間にある自然数 17～24になります。

3.有理数と無理数

1/2、5/3のように、分数の比で表せる数のことを有理数といい、√2やπ(パイ)のように分数の比で表せない数のことを無理数といいます。

例題＞次の数を有理数・無理数に分類しましょう。

(1) 2

答え：有理数・・・２は分数にすると2/1になります。分数にすることができるので有理数です。

(2) 0.75

答え：有理数・・・0.75は分数にすると75/100、さらに約分すると3/4になります。よって有理数です。

(3) √49

答え：有理数・・・√がついているので一見無理数に思えますが、√49＝７であるため、有理数になります。

(4) √5/3

答え：無理数・・・分数の中に√5 のような無理数があれば、分数全体も無理数となります。

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4.近似値と有効数字

例えば、π(パイ) ≒ 3.141592…や、√2≒1.41421356…のように、完全な値ではないが、それに近い値のことを近似値といいます。また、近似値と真の値と差を誤差といいます。

例題＞ 小数点第二位を四捨五入して示す温度計が、26.0℃ を示しています。このときの実際の気温 tの範囲を、不等号を使って表した時、( )に当てはまる数字を答えましょう。

( )≦ t ＜( )

答え：(25.95)≦ t ＜(26.05)

では、例題にあった 26.0 と 26 の違いは何でしょうか。これは、数値としては同じですが、有効数字が違います。有効数字とは、意味のある数字や確実に信頼できる数字という意味で、ここでいう26.0 は有効数字3ケタ、26 は有効数字2ケタと表現します。

どういうことか、もう少し詳しく解説していきます。

また、有効数字は「整数部分が1ケタの小数×10の累乗」の形で表すことが多いです。整数部分が1ケタの小数とは、小数点より上の数字が1ケタしかない小数という意味で、10の累乗とは 10²,10³,10⁴…といった値のことです。

では、これまでの内容を元に、例題を解いて理解を深めましょう。

例題＞ Aさんの家から学校までの距離 839ｍを、有効数字が２ケタの「整数部分が１けたの小数×10 の累乗」のかたちで表しましょう。

答え：8.4×10²

解説：考えなければならないことは、８３９という３ケタの有効数字を２ケタに変換すること、変換した数を整数部分が1ケタの小数に変えることです。まず、839の３ケタ目にあたる一の位を四捨五入して840 とします。次に、840の中から整数部分が１けたの小数を作り出します。つまり、840を8.4×100と書き換えるのです。これで839の中から有効数字が２ケタかつ整数部分が1ケタの小数が作れました。最後に100を10の累乗のかたちで表し、答えは8.4×10²です。

最後までお読みいただきありがとうございました。

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